xy平面上にある2つの円 $C_1: (x-1)^2 + (y-4)^2 = 4$ と $C_2: (x-3)^2 + (y-1)^2 = 9$ について、以下の問いに答えます。 (1) $C_1$ と $C_2$ が異なる2点で交わることを証明します。 (2) $C_1$ と $C_2$ の2交点を通る直線の方程式を求めます。 (3) $C_1$ と $C_2$ の2交点と $C_2$ の中心を通る円の方程式を求めます。

1. 問題の内容

xy平面上にある2つの円 $C_1: (x-1)^2 + (y-4)^2 = 4$ と $C_2: (x-3)^2 + (y-1)^2 = 9$ について、以下の問いに答えます。

(1) $C_1$ と $C_2$ が異なる2点で交わることを証明します。

(2) $C_1$ と $C_2$ の2交点を通る直線の方程式を求めます。

(3) $C_1$ と $C_2$ の2交点と $C_2$ の中心を通る円の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 2つの円が異なる2点で交わる条件は、$|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ を満たすことです。ここで、$r_1$ と $r_2$ はそれぞれの円の半径、$d$ は中心間の距離を表します。

$C_1$ の中心は $(1, 4)$、半径は $r_1 = \sqrt{4} = 2$ です。

$C_2$ の中心は $(3, 1)$、半径は $r_2 = \sqrt{9} = 3$ です。

中心間の距離 $d$ は、

$d = \sqrt{(3-1)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$

$|r_1 - r_2| = |2 - 3| = 1$

$r_1 + r_2 = 2 + 3 = 5$

したがって、$1 < \sqrt{13} < 5$ が成り立ちます。

なぜなら、$1 < 13 < 25$ だからです。したがって、$C_1$ と $C_2$ は異なる2点で交わります。

(2) 2つの円の交点を通る直線の方程式は、$C_1 - C_2 = 0$ で与えられます。

$(x-1)^2 + (y-4)^2 - 4 - [(x-3)^2 + (y-1)^2 - 9] = 0$

$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 8y + 16 - 4 - (x^2 - 6x + 9 + y^2 - 2y + 1 - 9) = 0$

$x^2 - 2x + y^2 - 8y + 13 - (x^2 - 6x + y^2 - 2y + 1) = 0$

$-2x - 8y + 13 - (-6x - 2y + 1) = 0$

$-2x - 8y + 13 + 6x + 2y - 1 = 0$

$4x - 6y + 12 = 0$

$2x - 3y + 6 = 0$

(3) $C_1$ と $C_2$ の2交点を通る円は、$C_1 + k(C_1 - C_2) = 0$ の形で表されます。ただし、中心が $C_2$ の中心 $(3, 1)$ を通るという条件があるので、これを代入して $k$ を決定します。また、(2)で求めた直線の方程式を利用することもできます。

求める円の方程式を

$(x-1)^2 + (y-4)^2 - 4 + k(2x - 3y + 6) = 0$

とします。この円が $(3, 1)$ を通るので、

$(3-1)^2 + (1-4)^2 - 4 + k(2(3) - 3(1) + 6) = 0$

$4 + 9 - 4 + k(6 - 3 + 6) = 0$

$9 + 9k = 0$

$k = -1$

よって、求める円の方程式は、

$(x-1)^2 + (y-4)^2 - 4 - (2x - 3y + 6) = 0$

$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 8y + 16 - 4 - 2x + 3y - 6 = 0$

$x^2 - 4x + y^2 - 5y + 7 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $C_1$ と $C_2$ は異なる2点で交わる。

(2) $2x - 3y + 6 = 0$

(3) $x^2 - 4x + y^2 - 5y + 7 = 0$