与えられたベクトル $\overrightarrow{AB} = (-1, 1, 3)$ と $\overrightarrow{AC} = (1, 2, 1)$ を用いて、$\cos{\angle BAC}$, $\sin{\angle BAC}$ を求め、三角形ABCの面積を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられたベクトル $\overrightarrow{AB} = (-1, 1, 3)$ と $\overrightarrow{AC} = (1, 2, 1)$ を用いて、$\cos{\angle BAC}$, $\sin{\angle BAC}$ を求め、三角形ABCの面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ の大きさの2乗を計算します。

$|\overrightarrow{AB}|^2 = (-1)^2 + 1^2 + 3^2 = 1 + 1 + 9 = 11$

$|\overrightarrow{AC}|^2 = 1^2 + 2^2 + 1^2 = 1 + 4 + 1 = 6$

次に、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ の内積を計算します。

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-1)(1) + (1)(2) + (3)(1) = -1 + 2 + 3 = 4$

$\cos{\angle BAC}$ は、内積の定義から求められます。

$\cos{\angle BAC} = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|} = \frac{4}{\sqrt{11}\sqrt{6}}$

$\sin{\angle BAC}$ は、$\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$ の関係から求められます。

$\sin^2{\angle BAC} = 1 - \cos^2{\angle BAC} = 1 - \left(\frac{4}{\sqrt{11}\sqrt{6}}\right)^2 = 1 - \frac{16}{66} = \frac{66 - 16}{66} = \frac{50}{66} = \frac{25}{33}$

$\sin{\angle BAC} = \sqrt{\frac{25}{33}} = \frac{5}{\sqrt{33}} = \frac{5\sqrt{33}}{33} = \frac{5\sqrt{3}\sqrt{11}}{33} = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{66}}$ (画像の値と一致)

三角形ABCの面積は、以下の公式で求められます。

$S = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}| \sin{\angle BAC} = \frac{1}{2} \sqrt{11} \sqrt{6} \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{66}} = \frac{1}{2} \sqrt{66} \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{66}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

三角形ABCの面積は $\frac{5\sqrt{2}}{2}$ です。