座標空間内に3点 $A(0, -1, 2)$, $B(-1, 0, 5)$, $C(1, 1, 3)$ が与えられています。これらの3点が定める平面を$\alpha$とし、原点Oから平面$\alpha$に下ろした垂線をOHとします。問題は、三角形ABCの面積を求めることです。

1. 問題の内容

座標空間内に3点 $A(0, -1, 2)$, $B(-1, 0, 5)$, $C(1, 1, 3)$ が与えられています。これらの3点が定める平面を$\alpha$とし、原点Oから平面$\alpha$に下ろした垂線をOHとします。問題は、三角形ABCの面積を求めることです。

2. 解き方の手順

三角形ABCの面積を求めるには、ベクトル $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を用いて、以下の公式を利用します。

$S = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$

まず、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を求めます。

$\overrightarrow{AB} = B - A = (-1 - 0, 0 - (-1), 5 - 2) = (-1, 1, 3)$

$\overrightarrow{AC} = C - A = (1 - 0, 1 - (-1), 3 - 2) = (1, 2, 1)$

次に、$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ (ベクトルの外積) を計算します。

$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (1*1 - 3*2, 3*1 - (-1)*1, (-1)*2 - 1*1) = (1 - 6, 3 + 1, -2 - 1) = (-5, 4, -3)$

そして、 $|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$ を計算します。

$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-5)^2 + 4^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 16 + 9} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

最後に、三角形ABCの面積を求めます。

$S = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \frac{1}{2} * 5\sqrt{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{5\sqrt{2}}{2}$