## 1. 問題の内容

##

1. 問題の内容

1. 点 $A(-2)$ と点 $B(5)$ を結ぶ線分 $AB$ を $3:4$ に内分する点を $C$、 $3:4$ に外分する点を $D$ とするとき、線分 $CD$ の長さを求めよ。

2. $\triangle ABC$ の2つの頂点 $A$, $B$ および重心 $G$ の座標が $A(-7, -5)$, $B(2, -2)$, $G(-2, -1)$ であるとき、頂点 $C$ の座標を求めよ。

3. 2点 $A(3, 4)$, $B(-2, 7)$ を通る直線を $l$ とするとき、次の直線の式を求めよ。

(1) 点 $(1, 1)$ を通り、直線 $l$ に平行な直線

(2) 点 $(1, 1)$ を通り、直線 $l$ に垂直な直線

4. 2点 $A(1, -1)$, $B(3, -7)$ を結ぶ線分 $AB$ の垂直二等分線の方程式を求めよ。

##

2. 解き方の手順

1. **問題1:**

* 点 $C$ の座標を求める。線分 $AB$ を $3:4$ に内分する点の座標は、内分点の公式より、

$C = \frac{4A + 3B}{3 + 4} = \frac{4(-2) + 3(5)}{7} = \frac{-8 + 15}{7} = \frac{7}{7} = 1$

* 点 $D$ の座標を求める。線分 $AB$ を $3:4$ に外分する点の座標は、外分点の公式より、

$D = \frac{-4A + 3B}{3 - 4} = \frac{-4(-2) + 3(5)}{-1} = \frac{8 + 15}{-1} = \frac{23}{-1} = -23$

* 線分 $CD$ の長さを求める。

$CD = |D - C| = |-23 - 1| = |-24| = 24$

2. **問題2:**

* 重心 $G$ の座標の公式を利用する。$\triangle ABC$ の重心 $G$ の座標は、$G = \left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$ で表される。

* $G(-2, -1)$, $A(-7, -5)$, $B(2, -2)$ を代入して、頂点 $C(x_C, y_C)$ の座標を求める。

$-2 = \frac{-7 + 2 + x_C}{3}$ より、 $-6 = -5 + x_C$, $x_C = -1$

$-1 = \frac{-5 - 2 + y_C}{3}$ より、 $-3 = -7 + y_C$, $y_C = 4$

* よって、頂点 $C$ の座標は $(-1, 4)$。

3. **問題3:**

* **(1)**

* 直線 $l$ の傾きを求める。直線 $l$ は $A(3, 4)$ と $B(-2, 7)$ を通るので、傾きは $\frac{7 - 4}{-2 - 3} = \frac{3}{-5} = -\frac{3}{5}$

* 点 $(1, 1)$ を通り、直線 $l$ に平行な直線の傾きも $-\frac{3}{5}$ である。

* 求める直線の方程式は、$y - 1 = -\frac{3}{5}(x - 1)$ より、$y = -\frac{3}{5}x + \frac{3}{5} + 1$。

* 整理して、$y = -\frac{3}{5}x + \frac{8}{5}$。あるいは、$3x + 5y - 8 = 0$

* **(2)**

* 直線 $l$ に垂直な直線の傾きは、直線 $l$ の傾きの逆数の符号を変えたものなので、$\frac{5}{3}$ である。

* 点 $(1, 1)$ を通り、直線 $l$ に垂直な直線の方程式は、$y - 1 = \frac{5}{3}(x - 1)$ より、$y = \frac{5}{3}x - \frac{5}{3} + 1$。

* 整理して、$y = \frac{5}{3}x - \frac{2}{3}$。あるいは、$5x - 3y - 2 = 0$

4. **問題4:**

* 線分 $AB$ の中点の座標を求める。中点の座標は $\left(\frac{1 + 3}{2}, \frac{-1 + (-7)}{2}\right) = (2, -4)$。

* 線分 $AB$ の傾きを求める。傾きは $\frac{-7 - (-1)}{3 - 1} = \frac{-6}{2} = -3$。

* 線分 $AB$ の垂直二等分線の傾きは、線分 $AB$ の傾きの逆数の符号を変えたものなので、$\frac{1}{3}$。

* 求める垂直二等分線の方程式は、$y - (-4) = \frac{1}{3}(x - 2)$ より、$y + 4 = \frac{1}{3}x - \frac{2}{3}$。

* 整理して、$y = \frac{1}{3}x - \frac{2}{3} - 4$ より、$y = \frac{1}{3}x - \frac{14}{3}$。あるいは、$x - 3y - 14 = 0$

##

3. 最終的な答え

1. 問題1：24

2. 問題2：$(-1, 4)$

3. 問題3：(1) $3x + 5y - 8 = 0$ (あるいは$y = -\frac{3}{5}x + \frac{8}{5}$)、 (2) $5x - 3y - 2 = 0$ (あるいは $y = \frac{5}{3}x - \frac{2}{3}$)

4. 問題4：$x - 3y - 14 = 0$ (あるいは $y = \frac{1}{3}x - \frac{14}{3}$)