与えられた条件を満たす円の方程式を求める問題です。 (1) 中心 $(-4, 3)$ で、$y$軸に接する円 (2) 中心 $(-4, -5)$ で、直線 $x - 2y = 1$ に接する円 (3) $x$軸上に中心を持ち、2点 $(3, \sqrt{3})$、$(2, -2)$ を通る円 (4) 直線 $y = 2x - 5$ 上に中心を持ち、2点 $(4, 6)$、$(-2, 2)$ を通る円

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす円の方程式を求める問題です。

(1) 中心 $(-4, 3)$ で、$y$軸に接する円

(2) 中心 $(-4, -5)$ で、直線 $x - 2y = 1$ に接する円

(3) $x$軸上に中心を持ち、2点 $(3, \sqrt{3})$、$(2, -2)$ を通る円

(4) 直線 $y = 2x - 5$ 上に中心を持ち、2点 $(4, 6)$、$(-2, 2)$ を通る円

2. 解き方の手順

(1) 中心が $(-4, 3)$ で、$y$軸に接する円

円の方程式は $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ であり、中心が $(a, b)$、半径が $r$ である。

中心が $(-4, 3)$ なので、$(x + 4)^2 + (y - 3)^2 = r^2$。

$y$軸に接するので、円の中心から$y$軸までの距離が半径になる。

したがって、$r = |-4| = 4$。

よって、円の方程式は $(x + 4)^2 + (y - 3)^2 = 16$。

(2) 中心 $(-4, -5)$ で、直線 $x - 2y = 1$ に接する円

円の方程式は $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ であり、中心が $(a, b)$、半径が $r$ である。

中心が $(-4, -5)$ なので、$(x + 4)^2 + (y + 5)^2 = r^2$。

直線 $x - 2y = 1$ に接するので、中心から直線までの距離が半径になる。

点 $(x_0, y_0)$ から直線 $ax + by + c = 0$ までの距離は $\frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$。

$(-4, -5)$ から $x - 2y - 1 = 0$ までの距離は $\frac{|1(-4) - 2(-5) - 1|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{|-4 + 10 - 1|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$。

したがって、$r = \sqrt{5}$。

よって、円の方程式は $(x + 4)^2 + (y + 5)^2 = 5$。

(3) $x$軸上に中心を持ち、2点 $(3, \sqrt{3})$、$(2, -2)$ を通る円

中心は$x$軸上にあるので、中心の座標を$(a, 0)$とする。円の方程式は$(x - a)^2 + (y - 0)^2 = r^2$ つまり、$(x - a)^2 + y^2 = r^2$。

$(3, \sqrt{3})$、$(2, -2)$ を通るので、

$(3 - a)^2 + (\sqrt{3})^2 = r^2$

$(2 - a)^2 + (-2)^2 = r^2$

$(3 - a)^2 + 3 = (2 - a)^2 + 4$

$9 - 6a + a^2 + 3 = 4 - 4a + a^2 + 4$

$12 - 6a = 8 - 4a$

$4 = 2a$

$a = 2$

$(2 - a)^2 + 4 = r^2$

$(2 - 2)^2 + 4 = r^2$

$r^2 = 4$

円の方程式は $(x - 2)^2 + y^2 = 4$。

(4) 直線 $y = 2x - 5$ 上に中心を持ち、2点 $(4, 6)$、$(-2, 2)$ を通る円

中心は直線 $y = 2x - 5$ 上にあるので、中心の座標を$(a, 2a - 5)$とする。円の方程式は $(x - a)^2 + (y - (2a - 5))^2 = r^2$。

$(4, 6)$、$(-2, 2)$ を通るので、

$(4 - a)^2 + (6 - (2a - 5))^2 = r^2$

$(-2 - a)^2 + (2 - (2a - 5))^2 = r^2$

$(4 - a)^2 + (11 - 2a)^2 = (-2 - a)^2 + (7 - 2a)^2$

$16 - 8a + a^2 + 121 - 44a + 4a^2 = 4 + 4a + a^2 + 49 - 28a + 4a^2$

$137 - 52a + 5a^2 = 53 - 24a + 5a^2$

$84 = 28a$

$a = 3$

中心は $(3, 2(3) - 5) = (3, 1)$。

$(4 - a)^2 + (6 - (2a - 5))^2 = r^2$

$(4 - 3)^2 + (6 - (2(3) - 5))^2 = r^2$

$1^2 + (6 - 1)^2 = r^2$

$1 + 25 = r^2$

$r^2 = 26$

円の方程式は $(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 26$。

3. 最終的な答え

(1) $(x + 4)^2 + (y - 3)^2 = 16$

(2) $(x + 4)^2 + (y + 5)^2 = 5$

(3) $(x - 2)^2 + y^2 = 4$

(4) $(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 26$