三角形ABCがあり、その頂点の座標はA(2, 3), B(-1, 0), C(3, 0)で与えられています。 (1) 各頂点から対辺に引いた垂線（つまり、三角形の垂心）の交点の座標を求めます。 (2) 各辺の垂直二等分線（つまり、三角形の外心）の交点の座標を求めます。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、その頂点の座標はA(2, 3), B(-1, 0), C(3, 0)で与えられています。

(1) 各頂点から対辺に引いた垂線（つまり、三角形の垂心）の交点の座標を求めます。

(2) 各辺の垂直二等分線（つまり、三角形の外心）の交点の座標を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 垂心

まず、各辺の傾きを求めます。

辺BCの傾きは $\frac{0-0}{3-(-1)} = 0$です。したがって、BCはx軸に平行です。

辺ACの傾きは $\frac{3-0}{2-3} = -3$です。

辺ABの傾きは $\frac{3-0}{2-(-1)} = 1$です。

AからBCへの垂線は、x軸に垂直なので、直線 $x=2$となります。

BからACへの垂線の傾きは、ACの傾きの逆数の符号を変えたものなので、$\frac{1}{3}$です。この垂線は点B(-1, 0)を通るので、その方程式は $y = \frac{1}{3}(x+1)$となります。

CからABへの垂線の傾きは、ABの傾きの逆数の符号を変えたものなので、$-1$です。この垂線は点C(3, 0)を通るので、その方程式は $y = -1(x-3) = -x+3$となります。

AからBCへの垂線とBからACへの垂線の交点は、

$x=2$

$y = \frac{1}{3}(2+1) = 1$

よって(2, 1)

AからBCへの垂線とCからABへの垂線の交点は、

$x=2$

$y = -2+3 = 1$

よって(2, 1)

したがって、垂心は(2, 1)です。

(2) 外心

辺BCの中点は $(\frac{-1+3}{2}, \frac{0+0}{2}) = (1, 0)$です。BCの垂直二等分線はx軸に垂直な直線 $x=1$です。

辺ACの中点は $(\frac{2+3}{2}, \frac{3+0}{2}) = (\frac{5}{2}, \frac{3}{2})$です。ACの傾きは-3なので、ACの垂直二等分線の傾きは$\frac{1}{3}$です。したがって、その方程式は $y - \frac{3}{2} = \frac{1}{3}(x - \frac{5}{2})$です。

これを整理すると $y = \frac{1}{3}x - \frac{5}{6} + \frac{9}{6} = \frac{1}{3}x + \frac{4}{6} = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$となります。

辺ABの中点は $(\frac{2-1}{2}, \frac{3+0}{2}) = (\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$です。ABの傾きは1なので、ABの垂直二等分線の傾きは-1です。したがって、その方程式は $y - \frac{3}{2} = -1(x - \frac{1}{2})$です。

これを整理すると $y = -x + \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = -x + 2$となります。

BCの垂直二等分線とACの垂直二等分線の交点は、

$x=1$

$y = \frac{1}{3}(1) + \frac{2}{3} = 1$

よって(1, 1)

BCの垂直二等分線とABの垂直二等分線の交点は、

$x=1$

$y = -1 + 2 = 1$

よって(1, 1)

したがって、外心は(1, 1)です。

3. 最終的な答え

(1) 垂心の座標: (2, 1)

(2) 外心の座標: (1, 1)