楕円 $\frac{x^2}{13^2} + \frac{y^2}{12^2} = 1$ と双曲線 $\frac{x^2}{4^2} - \frac{y^2}{3^2} = 1$ がある。第1象限におけるこれらの2曲線の交点をPとする。 (1) 点Pにおいて、この楕円に引いた接線の方程式を求めよ。 (2) 点Pにおいて、これら2曲線に引いた接線が、直交することを示せ。

1. 問題の内容

楕円 $\frac{x^2}{13^2} + \frac{y^2}{12^2} = 1$ と双曲線 $\frac{x^2}{4^2} - \frac{y^2}{3^2} = 1$ がある。第1象限におけるこれらの2曲線の交点をPとする。

(1) 点Pにおいて、この楕円に引いた接線の方程式を求めよ。

(2) 点Pにおいて、これら2曲線に引いた接線が、直交することを示せ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、2つの曲線の交点Pの座標を求める。連立方程式を解く。

$\frac{x^2}{13^2} + \frac{y^2}{12^2} = 1$

$\frac{x^2}{4^2} - \frac{y^2}{3^2} = 1$

最初の式から $y^2 = 12^2(1 - \frac{x^2}{13^2})$ を得る。

これを2番目の式に代入する。

$\frac{x^2}{4^2} - \frac{12^2}{3^2}(1 - \frac{x^2}{13^2}) = 1$

$\frac{x^2}{16} - 16(1 - \frac{x^2}{169}) = 1$

$\frac{x^2}{16} - 16 + \frac{16x^2}{169} = 1$

$(\frac{1}{16} + \frac{16}{169})x^2 = 17$

$(\frac{169 + 256}{16 \cdot 169})x^2 = 17$

$\frac{425}{16 \cdot 169}x^2 = 17$

$x^2 = \frac{17 \cdot 16 \cdot 169}{425} = \frac{17 \cdot 16 \cdot 169}{17 \cdot 25} = \frac{16 \cdot 169}{25}$

$x = \sqrt{\frac{16 \cdot 169}{25}} = \frac{4 \cdot 13}{5} = \frac{52}{5}$

$y^2 = 12^2 (1 - \frac{x^2}{13^2}) = 12^2 (1 - \frac{1}{13^2} \cdot \frac{16 \cdot 13^2}{25}) = 12^2 (1 - \frac{16}{25}) = 12^2 \cdot \frac{9}{25} = \frac{144 \cdot 9}{25}$

$y = \sqrt{\frac{144 \cdot 9}{25}} = \frac{12 \cdot 3}{5} = \frac{36}{5}$

よって、交点Pの座標は $(\frac{52}{5}, \frac{36}{5})$

楕円 $\frac{x^2}{13^2} + \frac{y^2}{12^2} = 1$ 上の点 $(x_0, y_0)$ における接線の方程式は $\frac{x_0 x}{13^2} + \frac{y_0 y}{12^2} = 1$ である。

点P $(\frac{52}{5}, \frac{36}{5})$ における接線の方程式は

$\frac{\frac{52}{5}x}{13^2} + \frac{\frac{36}{5}y}{12^2} = 1$

$\frac{52x}{5 \cdot 169} + \frac{36y}{5 \cdot 144} = 1$

$\frac{4x}{5 \cdot 13} + \frac{y}{5 \cdot 4} = 1$

$\frac{4x}{65} + \frac{y}{20} = 1$

$16x + 13y = 130$

(2)

双曲線 $\frac{x^2}{4^2} - \frac{y^2}{3^2} = 1$ 上の点 $(x_0, y_0)$ における接線の方程式は $\frac{x_0 x}{4^2} - \frac{y_0 y}{3^2} = 1$ である。

点P $(\frac{52}{5}, \frac{36}{5})$ における接線の方程式は

$\frac{\frac{52}{5}x}{16} - \frac{\frac{36}{5}y}{9} = 1$

$\frac{52x}{5 \cdot 16} - \frac{36y}{5 \cdot 9} = 1$

$\frac{13x}{5 \cdot 4} - \frac{4y}{5} = 1$

$13x - 16y = 20$

楕円の接線の傾きは $16x + 13y = 130$ より $13y = -16x + 130$, $y = -\frac{16}{13}x + 10$ だから $-\frac{16}{13}$

双曲線の接線の傾きは $13x - 16y = 20$ より $16y = 13x - 20$, $y = \frac{13}{16}x - \frac{5}{4}$ だから $\frac{13}{16}$

$-\frac{16}{13} \cdot \frac{13}{16} = -1$ であるから、2つの接線は直交する。

3. 最終的な答え

(1) 楕円の接線の方程式は $16x + 13y = 130$

(2) 2つの接線は直交する。