三角形ABCにおいて、$a = 2\sqrt{3}$、$b = 3 - \sqrt{3}$、$C = 120^\circ$が与えられている。残りの辺cの長さと角A、角Bの大きさを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a = 2\sqrt{3}$、$b = 3 - \sqrt{3}$、$C = 120^\circ$が与えられている。残りの辺cの長さと角A、角Bの大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理を用いて辺cの長さを求める。余弦定理は、$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos{C}$である。

$a = 2\sqrt{3}$、$b = 3 - \sqrt{3}$、$C = 120^\circ$を代入すると、

$c^2 = (2\sqrt{3})^2 + (3-\sqrt{3})^2 - 2(2\sqrt{3})(3-\sqrt{3})\cos{120^\circ}$

$c^2 = 12 + (9 - 6\sqrt{3} + 3) - 4\sqrt{3}(3-\sqrt{3})(-\frac{1}{2})$

$c^2 = 12 + 12 - 6\sqrt{3} + 2\sqrt{3}(3-\sqrt{3})$

$c^2 = 24 - 6\sqrt{3} + 6\sqrt{3} - 6$

$c^2 = 18$

$c = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

(2) 正弦定理を用いて角Aを求める。正弦定理は、$\frac{a}{\sin{A}} = \frac{c}{\sin{C}}$である。

$\sin{A} = \frac{a\sin{C}}{c}$

$\sin{A} = \frac{2\sqrt{3}\sin{120^\circ}}{3\sqrt{2}}$

$\sin{A} = \frac{2\sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2})}{3\sqrt{2}}$

$\sin{A} = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$A = 45^\circ$

(3) 三角形の内角の和は180°であるから、角Bは$B = 180^\circ - A - C = 180^\circ - 45^\circ - 120^\circ = 15^\circ$

3. 最終的な答え

$c = 3\sqrt{2}$

$A = 45^\circ$

$B = 15^\circ$