長さ $a$ と $b$ の2つの線分が与えられたとき、長さ $\sqrt{ab}$ の線分を作図せよ。

1. 問題の内容

長さ $a$ と $b$ の2つの線分が与えられたとき、長さ $\sqrt{ab}$ の線分を作図せよ。

2. 解き方の手順

これは相似な直角三角形を利用して作図する問題です。

1. 直線上に点Aをとり、点Aから長さ$a$の線分ABをとる。

2. 線分ABの延長上に点Bから長さ$b$の線分BCをとる。

3. 線分ACの中点Oを求める。中点Oは、線分ACの垂直二等分線を作図することで求められます。

4. 点Oを中心として、線分ACを直径とする円を描く。

5. 点Bから線分ACに対する垂線を引く。この垂線と円の交点をDとする。

6. 線分BDの長さが$\sqrt{ab}$となる。

理由：

三角形ADCは、半円に対する円周角なので、$\angle ADC = 90^\circ$の直角三角形である。

$\triangle ABD$と$\triangle DBC$は相似である。（$\angle BAD = \angle BDC$, $\angle ABD = \angle DBC$）

したがって、$AB:BD = BD:BC$。

$AB = a$, $BC = b$, $BD = x$とすると、

$a:x = x:b$

$x^2 = ab$

$x = \sqrt{ab}$

3. 最終的な答え

上記の作図手順で作図された線分BDの長さが、$\sqrt{ab}$である。