長さ $a$ と $b$ の2つの線分が与えられたとき、長さ $\sqrt{ab}$ の線分を作図する問題です。

1. 問題の内容

長さ $a$ と $b$ の2つの線分が与えられたとき、長さ $\sqrt{ab}$ の線分を作図する問題です。

2. 解き方の手順

この問題は、直角三角形の相似と三平方の定理を利用して解きます。

1. 長さ $a$ の線分と長さ $b$ の線分を、一直線上に並べて、長さ $a+b$ の線分を作る。

2. 長さ $a+b$ の線分を直径とする円を描く。この円の中心をOとする。

3. $a$ と $b$ の接点(上記の直線上で、$a$と$b$が繋がっている点)をPとする。点Pから、直径($a+b$の線分)に対して垂直な線分を円周まで引く。この円周との交点をQとする。

4. 線分PQの長さが求める $\sqrt{ab}$ になる。

理由：

三角形AQBは、円周角の定理より、角AQBが90度の直角三角形になる。

線分PQの長さを $x$ とすると、直角三角形AQBにおいて、三平方の定理から、

$x^2 = a \cdot b$

$x = \sqrt{ab}$

3. 最終的な答え

線分PQの長さが、長さ $\sqrt{ab}$ の線分となります。