2つの直線 $y = mx + 5$ と $y = 3x - 6$ のなす角が $\frac{\pi}{4}$ であるとき、定数 $m$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2つの直線 $y = mx + 5$ と $y = 3x - 6$ のなす角が $\frac{\pi}{4}$ であるとき、定数 $m$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

2つの直線のなす角を $\theta$ とすると、

$$\tan{\theta} = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$$

ここで、$m_1$ と $m_2$ はそれぞれの直線の傾きである。

この問題では、$\theta = \frac{\pi}{4}$、$m_1 = m$、$m_2 = 3$ であるから、

$$\tan{\frac{\pi}{4}} = \left| \frac{m - 3}{1 + 3m} \right|$$

$\tan{\frac{\pi}{4}} = 1$ なので、

$$1 = \left| \frac{m - 3}{1 + 3m} \right|$$

絶対値を外すと、

$$\frac{m - 3}{1 + 3m} = \pm 1$$

(i) $\frac{m - 3}{1 + 3m} = 1$ の場合：

$$m - 3 = 1 + 3m$$

$$-2m = 4$$

$$m = -2$$

(ii) $\frac{m - 3}{1 + 3m} = -1$ の場合：

$$m - 3 = -1 - 3m$$

$$4m = 2$$

$$m = \frac{1}{2}$$

したがって、$m$ の値は $-2$ と $\frac{1}{2}$ である。

3. 最終的な答え

$m = -2, \frac{1}{2}$