三角形ABCにおいて、辺BCの中点をMとするとき、$AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2)$ が成り立つことを、点A, B, C, Mの座標をそれぞれA(a, b), B(c, 0), C(-c, 0), M(0, 0)と置いて示す。ただし、$c > 0$ とする。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺BCの中点をMとするとき、$AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2)$ が成り立つことを、点A, B, C, Mの座標をそれぞれA(a, b), B(c, 0), C(-c, 0), M(0, 0)と置いて示す。ただし、$c > 0$ とする。

2. 解き方の手順

まず、$AB^2$, $AC^2$, $AM^2$, $BM^2$をそれぞれ計算する。

$AB^2 = (a - c)^2 + (b - 0)^2 = (a - c)^2 + b^2 = a^2 - 2ac + c^2 + b^2$

$AC^2 = (a - (-c))^2 + (b - 0)^2 = (a + c)^2 + b^2 = a^2 + 2ac + c^2 + b^2$

$AM^2 = (a - 0)^2 + (b - 0)^2 = a^2 + b^2$

$BM^2 = (c - 0)^2 + (0 - 0)^2 = c^2$

次に、$AB^2 + AC^2$を計算する。

$AB^2 + AC^2 = (a^2 - 2ac + c^2 + b^2) + (a^2 + 2ac + c^2 + b^2) = 2a^2 + 2c^2 + 2b^2 = 2(a^2 + b^2 + c^2)$

次に、$2(AM^2 + BM^2)$を計算する。

$2(AM^2 + BM^2) = 2(a^2 + b^2 + c^2) = 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 = 2(a^2 + b^2 + c^2)$

$AB^2 + AC^2$と$2(AM^2 + BM^2)$が等しいことを示す。

$AB^2 + AC^2 = 2(a^2 + b^2 + c^2) = 2(AM^2 + BM^2)$

よって、$AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2)$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2)$