(1) 図のような$\triangle ABC$について、内積$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{HC}$を求めなさい。ただし、図において$\angle B = 30^\circ$, $\angle HAC = 45^\circ$, $AH \perp BC$とする。

1. 問題の内容

(1) 図のような$\triangle ABC$について、内積$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{HC}$を求めなさい。ただし、図において$\angle B = 30^\circ$, $\angle HAC = 45^\circ$, $AH \perp BC$とする。

2. 解き方の手順

まず、$AH$の長さを1とおく。

$\triangle ABH$において、$BH = AH \cdot \cot 30^\circ = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$

$\triangle AHC$において、$HC = AH \cdot \cot 45^\circ = 1 \cdot 1 = 1$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{HC} = |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{HC}| \cos \angle ( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{HC})$

$|\overrightarrow{HC}| = HC = 1$

$|\overrightarrow{AB}| = \frac{AH}{\sin 30^\circ} = \frac{1}{1/2} = 2$

$\angle ( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{HC})$について、$\overrightarrow{AB}$の方向と$\overrightarrow{HC}$の方向を考えると、$\angle AHB = 90^\circ$なので、$\angle HAB = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$。

$\angle HAC = 45^\circ$より、$\angle BAC = 60^\circ + 45^\circ = 105^\circ$。

$\angle ACB = 180^\circ - (30^\circ+105^\circ) = 45^\circ$

$\overrightarrow{HC}$は右向き、$\overrightarrow{AB}$は左上向きなので、$\angle ( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{HC}) = 180^\circ - (180^\circ - 30^\circ - 90^\circ) = 120^\circ$。

したがって、$180^\circ - (\angle BAC + \angle ACB)$

$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{HC}$のなす角は、$180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$。

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{HC} = |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{HC}| \cos 150^\circ = 2 \cdot 1 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$-\sqrt{3}$