$\triangle OAB$において、辺$OA$を$3:1$に内分する点を$C$、辺$OB$を$2:3$に内分する点を$D$とする。線分$AD$と線分$BC$の交点を$P$とするとき、$\vec{OP}$を$\vec{a}$、$\vec{b}$を用いて表す。ただし、$\vec{OA} = \vec{a}$、$\vec{OB} = \vec{b}$とする。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$において、辺$OA$を$3:1$に内分する点を$C$、辺$OB$を$2:3$に内分する点を$D$とする。線分$AD$と線分$BC$の交点を$P$とするとき、$\vec{OP}$を$\vec{a}$、$\vec{b}$を用いて表す。ただし、$\vec{OA} = \vec{a}$、$\vec{OB} = \vec{b}$とする。

2. 解き方の手順

まず、点$P$が線分$AD$上にあることから、実数$s$を用いて

$\vec{OP} = (1-s)\vec{OA} + s\vec{OD}$

と表せる。ここで、$\vec{OD} = \frac{2}{5}\vec{OB}$なので、

$\vec{OP} = (1-s)\vec{a} + s\left(\frac{2}{5}\vec{b}\right) = (1-s)\vec{a} + \frac{2s}{5}\vec{b}$

次に、点$P$が線分$BC$上にあることから、実数$t$を用いて

$\vec{OP} = (1-t)\vec{OB} + t\vec{OC}$

と表せる。ここで、$\vec{OC} = \frac{3}{4}\vec{OA}$なので、

$\vec{OP} = (1-t)\vec{b} + t\left(\frac{3}{4}\vec{a}\right) = \frac{3t}{4}\vec{a} + (1-t)\vec{b}$

$\vec{a}$と$\vec{b}$は一次独立なので、

$1-s = \frac{3t}{4}$ かつ $\frac{2s}{5} = 1-t$

これらの連立方程式を解く。$\frac{2s}{5} = 1-t$より、$t = 1-\frac{2s}{5}$

これを$1-s = \frac{3t}{4}$に代入すると、

$1-s = \frac{3}{4}\left(1-\frac{2s}{5}\right) = \frac{3}{4} - \frac{6s}{20}$

$1-s = \frac{3}{4} - \frac{3s}{10}$

$1-\frac{3}{4} = s - \frac{3s}{10}$

$\frac{1}{4} = \frac{7s}{10}$

$s = \frac{10}{28} = \frac{5}{14}$

よって、$1-s = 1-\frac{5}{14} = \frac{9}{14}$

$\frac{2s}{5} = \frac{2}{5}\cdot\frac{5}{14} = \frac{1}{7}$

$\vec{OP} = \frac{9}{14}\vec{a} + \frac{1}{7}\vec{b}$

3. 最終的な答え

$\vec{OP} = \frac{9}{14}\vec{a} + \frac{1}{7}\vec{b}$