$\triangle OAB$ に対して、点 $P$ が条件 $\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$, $s+t=3$, $s \geq 0$, $t \geq 0$ を満たしながら動くとき、点 $P$ の存在範囲について、空欄を埋める問題です。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ に対して、点 $P$ が条件 $\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$, $s+t=3$, $s \geq 0$, $t \geq 0$ を満たしながら動くとき、点 $P$ の存在範囲について、空欄を埋める問題です。

2. 解き方の手順

条件 $s+t=3$ より、$s = 3(s/3)$、$t = 3(t/3)$ と変形し、$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$ に代入すると、

$\overrightarrow{OP} = 3(s/3)\overrightarrow{OA} + 3(t/3)\overrightarrow{OB} = (s/3)(3\overrightarrow{OA}) + (t/3)(3\overrightarrow{OB})$

ここで、$s' = s/3$, $t' = t/3$ とおくと、$s' + t' = (s+t)/3 = 3/3 = 1$ となり、$s' \geq 0$, $t' \geq 0$ である。

また、$3\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OA'}$, $3\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OB'}$ となる点 $A'$, $B'$ をとると、$\overrightarrow{OP} = s'\overrightarrow{OA'} + t'\overrightarrow{OB'}$ と表せる。

このとき、$s' + t' = 1$, $s' \geq 0$, $t' \geq 0$ であるから、点 $P$ は線分 $A'B'$ 上にある。

したがって、$\overrightarrow{OA'} = 3\overrightarrow{OA}$ となる点 $A'$、$\overrightarrow{OB'} = 3\overrightarrow{OB}$ となる点 $B'$ をとると、点 $P$ の存在範囲は線分 $A'B'$ である。

3. 最終的な答え

1: 3

2: 線分 $A'B'$