5つの問題があります。 (No.1) $A:B = 1:0.5$, $B:C = \frac{1}{6}:0.2$ のとき、$A:B:C$ を求める。 (No.2) A校とB校の全生徒数の割合が $4:3$ であり、男子生徒数の割合が $2:1$、女子生徒数の割合が $1:2$ である。B校の全生徒数が1800人のとき、A校の男子生徒数を求める。 (No.3) 図の$\triangle ABC$において、$BD$の長さを求める。ただし、$\angle B = 30^\circ$, $\angle ADB = 45^\circ$, $AC = 1$ である。 (No.4) 図の三角形の面積を求める。ただし、$BC=4$, $\angle B = 75^\circ$, $\angle C = 60^\circ$ である。 (No.5) 図の$x$の値を求める。ただし、円に内接する四角形の各辺の長さがそれぞれ、$4, 6, 8, x$ である。

1. 問題の内容

5つの問題があります。

(No.1) $A:B = 1:0.5$, $B:C = \frac{1}{6}:0.2$ のとき、$A:B:C$ を求める。

(No.2) A校とB校の全生徒数の割合が $4:3$ であり、男子生徒数の割合が $2:1$、女子生徒数の割合が $1:2$ である。B校の全生徒数が1800人のとき、A校の男子生徒数を求める。

(No.3) 図の$\triangle ABC$において、$BD$の長さを求める。ただし、$\angle B = 30^\circ$, $\angle ADB = 45^\circ$, $AC = 1$ である。

(No.4) 図の三角形の面積を求める。ただし、$BC=4$, $\angle B = 75^\circ$, $\angle C = 60^\circ$ である。

(No.5) 図の$x$の値を求める。ただし、円に内接する四角形の各辺の長さがそれぞれ、$4, 6, 8, x$ である。

2. 解き方の手順

(No.1)

$A:B = 1:0.5 = 1:\frac{1}{2} = 2:1$

$B:C = \frac{1}{6}:0.2 = \frac{1}{6}:\frac{1}{5} = 5:6$

$A:B:C = (2:1):(5:6) = 10:5:6$

よって、$A:B:C = 20:10:12$. これに合う選択肢はない. 計算ミスがある.

$A:B=1:0.5=2:1=10:5$

$B:C = \frac{1}{6}:\frac{1}{5} = 5:6$

なので、$A:B:C = 10:5:6$ となる. これは選択肢の中に存在しない.

仮にB:C=1:0.2=5:1とすると

A:B=2:1=10:5

B:C=5:1

よってA:B:C=10:5:1

この場合も選択肢にない.

計算し直します。

$A:B=1:\frac{1}{2} = 2:1$

$B:C=\frac{1}{6}:\frac{1}{5}=\frac{5}{30}:\frac{6}{30}=5:6$

したがって$A:B:C = 10:5:6$. 2倍すると$20:10:12$. これも選択肢にない.

(No.2)

A校の全生徒数を$4x$, B校の全生徒数を$3x$とする。

B校の全生徒数が1800人なので、$3x = 1800$ より $x = 600$ である。

したがって、A校の全生徒数は $4x = 4 \times 600 = 2400$人である。

A校の男子生徒数の割合を$a$, 女子生徒数の割合を$1-a$とすると、B校の男子生徒数の割合は$2a$, 女子生徒数の割合は$2(1-a)$となる。

男子生徒数の合計を$2:1$、女子生徒数の合計を$1:2$なので、

$\frac{2400a}{1800(2a)} = \frac{2}{1} \implies 2400a = 7200a$, これはありえない。

$\frac{2400(1-a)}{1800(2(1-a))} = \frac{1}{2} \implies \frac{2400}{3600} = \frac{1}{2}$, これもおかしい。

A校の生徒数を$4x$, B校の生徒数を$3x$とおく. $3x=1800$なので$x=600$. よってA校の生徒数は2400人

A校の男子生徒の割合を$a$とすると, 女子は$1-a$. B校の男子の割合は$a/2$, 女子は$2(1-a)$.

$2400a : (1800(a/2)) = 2:1$ より $2400a = 1800a$これは無理

$2400(1-a) : (1800 * 2(1-a)) = 1:2$ より $2400:3600=1:2$, これは誤り

問題文の設定が間違っている可能性がある.

(No.3)

$\triangle ADC$において$\angle DAC = 45^\circ$なので$AD = \sqrt{2}AC = \sqrt{2}$

$\triangle ABD$において正弦定理より、$\frac{AD}{\sin{30^\circ}} = \frac{BD}{\sin{\angle BAD}}$

$\angle BAD = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ$

$\frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{BD}{\sin{105^\circ}}$

$2\sqrt{2}\sin{105^\circ} = BD$

$\sin{105^\circ} = \sin{(60^\circ + 45^\circ)} = \sin{60^\circ}\cos{45^\circ} + \cos{60^\circ}\sin{45^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

$BD = 2\sqrt{2} \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} = \frac{2\sqrt{12}+4}{4} = \frac{4\sqrt{3}+4}{4} = \sqrt{3}+1$

(No.4)

$\angle A = 180^\circ - 75^\circ - 60^\circ = 45^\circ$

正弦定理より、$\frac{AC}{\sin{75^\circ}} = \frac{4}{\sin{45^\circ}}$

$AC = \frac{4\sin{75^\circ}}{\sin{45^\circ}} = \frac{4\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{3}+1 * 2 = 2(\sqrt{3}+1)$

$\frac{AB}{\sin{60^\circ}} = \frac{4}{\sin{45^\circ}}$

$AB = \frac{4\sin{60^\circ}}{\sin{45^\circ}} = \frac{4\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{6}$

面積$= \frac{1}{2}AB \times AC \times \sin{A} = \frac{1}{2}(2\sqrt{6})(2(\sqrt{3}+1)) \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{6}(\sqrt{3}+1)\sqrt{2} = 2\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)= 6+2\sqrt{3}$

(No.5)

円に内接する四角形において、対角の和は180度である。

トレミーの定理より、$4*8 + 6*x = d_1*d_2$

余弦定理より$AC^2 = 4^2+6^2-2*4*6\cos{B} = 16+36-48\cos{B}$

また$AC^2 = 8^2+x^2-2*8x\cos{D} = 64+x^2-16x\cos(180-B) = 64+x^2+16x\cos{B}$

$52-48\cos{B} = 64+x^2+16x\cos{B}$

$x^2 + (16x+48)\cos{B} + 12 = 0$

トレミーの定理を適用すると、$4\times 8 + 6 \times x = AC \times BD$.

$32 + 6x = AC \times BD$.

また、円に内接する四角形において、対角の和は180度である。

$\cos B = (4^2+6^2-AC^2)/(2\times 4\times 6) = (16+36-AC^2)/48 = (52-AC^2)/48$

$\cos D = (8^2+x^2-AC^2)/(2\times 8\times x) = (64+x^2-AC^2)/16x$.

$B+D = 180^\circ$.

$\cos(180^\circ-B) = -\cos B = (AC^2-52)/48$.

つまり$(AC^2-52)/48 = (64+x^2-AC^2)/16x$.

$(AC^2-52)16x = 3(64+x^2-AC^2)48$

$AC^2 = 64 + x^2 + sqrt((6*4+8x)(6*8+4x))$

$AC^2= 64+x^2 -16x * cos B$

この問題は難しい。

3. 最終的な答え

(No.1) 選択肢なし

(No.2) 選択肢なし

(No.3) $\sqrt{3}+1$

(No.4) $6+2\sqrt{3}$

(No.5) 解けませんでした。