$A:B = 1:0.5$、 $B:C = \frac{1}{6}:0.2$ のとき、$A:B:C$ を求める問題。

## 数学の問題の解答

### 問題1

1. **問題の内容**

$A:B = 1:0.5$、 $B:C = \frac{1}{6}:0.2$ のとき、$A:B:C$ を求める問題。

2. **解き方の手順**

まず、比を整数比に直します。

$A:B = 1:0.5 = 1:\frac{1}{2} = 2:1$

$B:C = \frac{1}{6}:0.2 = \frac{1}{6}:\frac{1}{5} = 5:6$

次に、$B$ の値を揃えます。

$A:B = 2:1 = 10:5$

$B:C = 5:6$

したがって、$A:B:C = 10:5:6$

3. **最終的な答え**

A:B:C = 10:5:6

選択肢の中に正解はありません。

ただし、最も近いのはDの20:6:11です。

A:B = 20:6 = 10:3

B:C = 6:11

なので、これも不正解です。

誤植もしくは問題に不備があると思われます。

### 問題2

1. **問題の内容**

A, B 両校の全生徒数の割合が 4:3。男子生徒数の割合が 2:1、女子生徒数の割合が 1:2。B 校の全生徒数が 1800 人のとき、A 校の男子生徒数を求める問題。

2. **解き方の手順**

まず、A校の全生徒数を求めます。

A校 : B校 = 4 : 3 = x : 1800

$3x = 4 \times 1800$

$x = \frac{4 \times 1800}{3} = 4 \times 600 = 2400$

A校の全生徒数は2400人です。

次に、A校とB校の男子生徒の割合、女子生徒の割合をそれぞれp,qとおきます。

A校の男子生徒の割合をp, 女子生徒の割合を1-pとおきます。

B校の男子生徒の割合をq, 女子生徒の割合を1-qとおきます。

男子生徒数の比率：2:1

女子生徒数の比率: 1:2

したがって、

A校の男子生徒数 = 2400p

B校の男子生徒数 = 1800q

A校の女子生徒数 = 2400(1-p)

B校の女子生徒数 = 1800(1-q)

$\frac{2400p}{1800q} = \frac{2}{1}$

$2400p = 3600q$

$p = \frac{3600}{2400} q = \frac{3}{2}q$

$\frac{2400(1-p)}{1800(1-q)} = \frac{1}{2}$

$4800(1-p) = 1800(1-q)$

$8(1-p) = 3(1-q)$

$8-8p = 3-3q$

$5 = 8p-3q$

上記で得られた $p = \frac{3}{2}q$ を代入します。

$5 = 8(\frac{3}{2}q)-3q$

$5 = 12q -3q = 9q$

$q = \frac{5}{9}$

よって、$p = \frac{3}{2} \times \frac{5}{9} = \frac{5}{6}$

A校の男子生徒数 = $2400p = 2400 \times \frac{5}{6} = 400 \times 5 = 2000$

3. **最終的な答え**

A校の男子生徒数は 2000 人。

### 問題3

1. **問題の内容**

三角形ABCにおいて、角B = 30度、角C = 45度、角Cは直角。BDの長さを求める問題。

2. **解き方の手順**

BCの長さが与えられていないので解けません。

AC = 1と仮定した場合に、BDの長さを求めてみます。

三角形ABCは直角三角形なので、角A = 180-90-30 = 60度です。

三角形ADCも直角三角形なので、角DAC = 90-45 = 45度です。

AC = 1より、三角形ADCは直角二等辺三角形なので、

AD = CD = 1

三角形ABDにおいて、角ABD = 30度、角ADB = 180-45 = 135度、角BAD = 180-135-30 = 15度

正弦定理より、

$\frac{BD}{\sin 15} = \frac{AD}{\sin 30}$

$BD = \frac{AD \times \sin 15}{\sin 30}$

$BD = \frac{1 \times \sin 15}{\frac{1}{2}} = 2 \sin 15$

$\sin 15 = \sin (45-30) = \sin 45 \cos 30 - \cos 45 \sin 30 = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

$BD = 2 \times \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$

= $\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{3}-1}{2} = \sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}}{4}} = \sqrt{\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{2}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}$

問題に不備があるため、解けません。

3. **最終的な答え**

問題に不備があるため、解けません。

### 問題4

1. **問題の内容**

三角形の面積を求める問題。角B = 75度、角C = 60度、BC = 4。

2. **解き方の手順**

角A = 180 - 75 - 60 = 45 度。

面積を求めるために、高さを求めます。BからACに垂線を下ろし、交点をDとします。

三角形BCDにおいて、

$\frac{BD}{BC} = \sin 60$

$BD = BC \times \sin 60 = 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$

次に、三角形ABCの面積を求めます。

面積 = $\frac{1}{2} \times AC \times BD$

ACを求めるために、正弦定理を使います。

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$

$\frac{4}{\sin 45} = \frac{AC}{\sin 75}$

$AC = \frac{4 \sin 75}{\sin 45} = \frac{4 \sin(45+30)}{\sin 45} = \frac{4 (\sin 45 \cos 30 + \cos 45 \sin 30)}{\sin 45}$

$AC = 4(\cos 30 + \sin 30) = 4(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}) = 2(\sqrt{3}+1)$

面積 = $\frac{1}{2} \times 2(\sqrt{3}+1) \times 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}(\sqrt{3}+1) = 2(3+\sqrt{3}) = 6+2\sqrt{3}$

3. **最終的な答え**

三角形の面積は $6+2\sqrt{3}$

### 問題5

1. **問題の内容**

円に内接する四角形のxの値を求める問題。

2. **解き方の手順**

円に内接する四角形なので、対角の和は180度です。

また、四角形の内角の和は360度です。

図より、四角形は二つの直角と向かい合う角から構成されているので、残りの二つの角も直角です。

そのため、向かい合う角の和は180度ではありません。

トレミーの定理を用いることで解けます。

$AC \times BD = AB \times CD + AD \times BC$

$AB = 4, BC = 8, CD = x, AD = 6$

$AC = \sqrt{4^2 + 8^2} = \sqrt{16+64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$

$BD = \sqrt{6^2 + x^2} = \sqrt{36+x^2}$

$4\sqrt{5} \sqrt{36+x^2} = 4x + 6 \times 8 = 4x+48$

$\sqrt{5(36+x^2)} = x+12$

両辺を二乗します。

$5(36+x^2) = (x+12)^2 = x^2+24x+144$

$180+5x^2 = x^2+24x+144$

$4x^2-24x+36 = 0$

$x^2-6x+9 = 0$

$(x-3)^2 = 0$

$x = 3$

選択肢に存在しないので、問題文もしくは図に誤りがあります。

3. **最終的な答え**

正解の選択肢はありません。計算によるとx=3ですが、選択肢にはありません。