図のような三角形ABCにおいて、$\cos B$の値を求める問題です。ここで、Aの座標は$(0,a)$、Bの座標は$(-b,0)$、Cの座標は$(c,0)$です。

1. 問題の内容

図のような三角形ABCにおいて、$\cos B$の値を求める問題です。ここで、Aの座標は$(0,a)$、Bの座標は$(-b,0)$、Cの座標は$(c,0)$です。

2. 解き方の手順

余弦定理を使って$\cos B$を求めます。三角形ABCの辺の長さをそれぞれ$a, b, c$とすると、余弦定理は以下のようになります。

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$

この式を変形して$\cos B$を求めます。

$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$

図から、三角形ABCの各辺の長さは以下の通りです。

* 辺ACの長さは、$AC = \sqrt{(c-0)^2 + (0-a)^2} = \sqrt{c^2 + a^2}$

* 辺ABの長さは、$AB = \sqrt{(-b-0)^2 + (0-a)^2} = \sqrt{b^2 + a^2}$

* 辺BCの長さは、$BC = c - (-b) = c + b$

よって、$AC = b$, $AB = c$, $BC = a$なので

$a=c+b$

$b=\sqrt{c^2+a^2}$

$c=\sqrt{b^2+a^2}$

上のcos Bの式に代入するために、辺の記号を書き換えます。求める$\cos B$の式は、以下のようになります。

$\cos B = \frac{(c+b)^2 + (\sqrt{b^2+a^2})^2 - (\sqrt{c^2+a^2})^2}{2(c+b)\sqrt{b^2+a^2}}$

展開して整理します。

$\cos B = \frac{c^2 + 2bc + b^2 + b^2 + a^2 - c^2 - a^2}{2(c+b)\sqrt{b^2+a^2}}$

$\cos B = \frac{2b^2 + 2bc}{2(c+b)\sqrt{b^2+a^2}}$

$\cos B = \frac{2b(b+c)}{2(c+b)\sqrt{b^2+a^2}}$

$\cos B = \frac{b}{\sqrt{b^2+a^2}}$

3. 最終的な答え

$\cos B = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$