ベクトル $\vec{a} = (3, 1)$, $\vec{b} = (1, 2)$ が与えられており、$\vec{c} = \vec{a} + t\vec{b}$ (ただし $t$ は実数)と定義される。このとき、ベクトルの大きさ $|\vec{c}|$ の最小値と、そのときの $t$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (3, 1)$, $\vec{b} = (1, 2)$ が与えられており、$\vec{c} = \vec{a} + t\vec{b}$ (ただし $t$ は実数)と定義される。このとき、ベクトルの大きさ $|\vec{c}|$ の最小値と、そのときの $t$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{c}$ を成分表示する。

$$\vec{c} = \vec{a} + t\vec{b} = (3, 1) + t(1, 2) = (3+t, 1+2t)$$

次に、$|\vec{c}|$ を計算する。

$$|\vec{c}| = \sqrt{(3+t)^2 + (1+2t)^2}$$

$|\vec{c}|$ が最小となる $t$ を求めるために、$|\vec{c}|^2$ を最小化する。

$$|\vec{c}|^2 = (3+t)^2 + (1+2t)^2 = 9+6t+t^2 + 1+4t+4t^2 = 5t^2 + 10t + 10$$

$|\vec{c}|^2 = 5t^2 + 10t + 10$ を $t$ で微分すると

$$\frac{d}{dt}|\vec{c}|^2 = 10t + 10$$

$\frac{d}{dt}|\vec{c}|^2 = 0$ となる $t$ を求めると、$10t + 10 = 0$ より $t = -1$。

$t = -1$ のとき、$|\vec{c}|^2 = 5(-1)^2 + 10(-1) + 10 = 5 - 10 + 10 = 5$

したがって、$|\vec{c}| = \sqrt{5}$。

3. 最終的な答え

$|\vec{c}|$ の最小値は $\sqrt{5}$ であり、そのときの $t$ の値は $-1$ である。