直線 $l: y = x + 1$ 上の $y$ 座標が3である点を通り、切片が4である直線 $m$ がある。 (1) 直線 $m$ の式を求めなさい。 (2) 2直線 $l$ と $m$ と $y$ 軸で囲まれた三角形の面積を求めなさい。

1. 問題の内容

直線 $l: y = x + 1$ 上の $y$ 座標が3である点を通り、切片が4である直線 $m$ がある。

(1) 直線 $m$ の式を求めなさい。

(2) 2直線 $l$ と $m$ と $y$ 軸で囲まれた三角形の面積を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1)

直線 $l: y = x + 1$ 上の $y$ 座標が3である点の $x$ 座標を求める。

$y = 3$ を $y = x + 1$ に代入して、$x$ を求める。

$3 = x + 1$

$x = 2$

したがって、直線 $m$ は点 $(2, 3)$ を通り、$y$ 切片が4である。

直線 $m$ の式を $y = ax + b$ とおく。$y$ 切片が4なので、$b = 4$ となる。

したがって、直線 $m$ の式は $y = ax + 4$ となる。

直線 $m$ は点 $(2, 3)$ を通るので、$x = 2$, $y = 3$ を代入する。

$3 = 2a + 4$

$2a = -1$

$a = -\frac{1}{2}$

したがって、直線 $m$ の式は $y = -\frac{1}{2}x + 4$ である。

(2)

直線 $l: y = x + 1$ と直線 $m: y = -\frac{1}{2}x + 4$ の交点の座標を求める。

$x + 1 = -\frac{1}{2}x + 4$

$2x + 2 = -x + 8$

$3x = 6$

$x = 2$

交点の $y$ 座標は $y = 2 + 1 = 3$ なので、交点の座標は $(2, 3)$ である。

直線 $l$ の $y$ 切片は $y = 1$ である。

直線 $m$ の $y$ 切片は $y = 4$ である。

したがって、2直線と $y$ 軸で囲まれた三角形の底辺の長さは $4 - 1 = 3$ である。

また、高さは交点の $x$ 座標の絶対値なので、高さは $|2| = 2$ である。

三角形の面積は $\frac{1}{2} \times \text{底辺} \times \text{高さ}$ で計算できる。

したがって、三角形の面積は $\frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3$ である。

3. 最終的な答え

(1) $y = -\frac{1}{2}x + 4$

(2) $3$