2直線 $x + 2y - 10 = 0$ と $2x + 3y - 7 = 0$ の交点を通り、以下の条件を満たす直線の方程式を求める問題です。 (1) 点 $(5, 6)$ を通る。 (2) 直線 $2x + 5y = 0$ に平行である。

幾何学直線交点連立方程式方程式
2025/7/3

1. 問題の内容

2直線 x+2y10=0x + 2y - 10 = 02x+3y7=02x + 3y - 7 = 0 の交点を通り、以下の条件を満たす直線の方程式を求める問題です。
(1) 点 (5,6)(5, 6) を通る。
(2) 直線 2x+5y=02x + 5y = 0 に平行である。

2. 解き方の手順

まず、2直線の交点を求めます。次に、(1)交点と点 (5,6)(5, 6) を通る直線の方程式を求めます。(2)与えられた直線に平行な直線の方程式を求めます。
(1) 交点の座標を求める。
連立方程式
x+2y10=0x + 2y - 10 = 0
2x+3y7=02x + 3y - 7 = 0
を解く。
1つ目の式を2倍して、
2x+4y20=02x + 4y - 20 = 0
2つ目の式を引くと、
y13=0y - 13 = 0
y=13y = 13
x+2(13)10=0x + 2(13) - 10 = 0
x+2610=0x + 26 - 10 = 0
x=16x = -16
よって、交点の座標は (16,13)(-16, 13)
交点 (16,13)(-16, 13) と点 (5,6)(5, 6) を通る直線の方程式を求める。
傾きは、
6135(16)=721=13\frac{6 - 13}{5 - (-16)} = \frac{-7}{21} = -\frac{1}{3}
よって、直線の方程式は、
y6=13(x5)y - 6 = -\frac{1}{3}(x - 5)
3(y6)=(x5)3(y - 6) = -(x - 5)
3y18=x+53y - 18 = -x + 5
x+3y23=0x + 3y - 23 = 0
(2) 直線 2x+5y=02x + 5y = 0 に平行な直線は、2x+5y+c=02x + 5y + c = 0 と表せる。
この直線が交点 (16,13)(-16, 13) を通るので、
2(16)+5(13)+c=02(-16) + 5(13) + c = 0
32+65+c=0-32 + 65 + c = 0
33+c=033 + c = 0
c=33c = -33
よって、直線の方程式は、
2x+5y33=02x + 5y - 33 = 0

3. 最終的な答え

(1) x+3y23=0x + 3y - 23 = 0
(2) 2x+5y33=02x + 5y - 33 = 0

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