2点 $O(0, 0)$、$A(1, 0)$と円 $x^2 + y^2 = 9$ 上を動く点 $Q$ でできる三角形 $OAQ$ の重心 $P$ の軌跡を求める問題です。

1. 問題の内容

2点 $O(0, 0)$、$A(1, 0)$と円 $x^2 + y^2 = 9$ 上を動く点 $Q$ でできる三角形 $OAQ$ の重心 $P$ の軌跡を求める問題です。

2. 解き方の手順

重心 $P$ の座標を $(X, Y)$ とし、点 $Q$ の座標を $(x, y)$ とします。重心の定義より、$X$ と $Y$ はそれぞれ、三角形の頂点の $x$ 座標と $y$ 座標の平均となるので、

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X = \frac{0 + 1 + x}{3} = \frac{1 + x}{3}

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Y = \frac{0 + 0 + y}{3} = \frac{y}{3}

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これらの式から、$x$ と $y$ を $X$ と $Y$ で表すと、

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x = 3X - 1

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y = 3Y

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点 $Q$ は円 $x^2 + y^2 = 9$ 上の点なので、上記の $x$ と $y$ を円の式に代入すると、

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(3X - 1)^2 + (3Y)^2 = 9

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9X^2 - 6X + 1 + 9Y^2 = 9

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9X^2 - 6X + 9Y^2 = 8

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両辺を 9 で割ると

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X^2 - \frac{2}{3}X + Y^2 = \frac{8}{9}

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平方完成をすると

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\left(X - \frac{1}{3}\right)^2 + Y^2 = \frac{8}{9} + \frac{1}{9} = \frac{9}{9} = 1

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したがって、重心 $P$ の軌跡は、中心が $\left(\frac{1}{3}, 0\right)$ で半径が $1$ の円となります。

3. 最終的な答え

$\left(x - \frac{1}{3}\right)^2 + y^2 = 1$