平面上に151本の直線を、どの2本も平行でなく、どの3本も1点で交わらないように引く。この151本の直線によって平面が分けられる部分のうち、多角形であるものの個数を求める問題。

1. 問題の内容

平面上に151本の直線を、どの2本も平行でなく、どの3本も1点で交わらないように引く。この151本の直線によって平面が分けられる部分のうち、多角形であるものの個数を求める問題。

2. 解き方の手順

n本の直線が平面を分割するとき、多角形の部分の個数を求める。

まず、n本の直線が平面を分割する領域の総数 $a_n$ は、$a_n = a_{n-1} + n$ で与えられる。ここで、$a_0 = 1$ である。よって、$a_n = \frac{n(n+1)}{2} + 1$ である。

次に、多角形ではない領域の個数を求める。外側の領域は、直線が2本ずつ平行でないという条件から、直線1本あたり2つの外側の領域が増える。したがって、外側の領域の個数は$2n$である。

多角形の領域の個数は、すべての領域の個数から外側の領域の個数を引いたものである。したがって、多角形の領域の個数 $p_n$ は、

$p_n = a_n - 2n = \frac{n(n+1)}{2} + 1 - 2n = \frac{n^2 + n - 4n}{2} + 1 = \frac{n^2 - 3n}{2} + 1 = \frac{n(n-3)}{2} + 1$

この問題では $n = 151$ なので、

$p_{151} = \frac{151(151-3)}{2} + 1 = \frac{151 \times 148}{2} + 1 = 151 \times 74 + 1 = 11174 + 1 = 11175$

3. 最終的な答え

11175