放物線 $y = x^2 + 4x + c$ において、$-3 \le x \le 2$ の範囲での最大値が3となるように、定数 $c$ の値を定める問題です。また、そのときの最小値を求めます。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 + 4x + c$ において、$-3 \le x \le 2$ の範囲での最大値が3となるように、定数 $c$ の値を定める問題です。また、そのときの最小値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた放物線を平方完成します。

$y = x^2 + 4x + c = (x^2 + 4x + 4) - 4 + c = (x+2)^2 + c - 4$

頂点の座標は $(-2, c-4)$ です。

次に、定義域 $-3 \le x \le 2$ における最大値が3となる $c$ の値を求めます。

頂点 $x=-2$ は定義域に含まれているので、軸の位置関係を考慮する必要はありません。

$x=-2$ で最小値をとります。

$x$ の範囲内で最大値をとる場所は、定義域の端のどちらかになります。

$x=2$ の時、$y = 2^2 + 4 \times 2 + c = 4 + 8 + c = 12 + c$

$x=-3$ の時、$y = (-3)^2 + 4 \times (-3) + c = 9 - 12 + c = -3 + c$

場合分けをします。

(i) $x=2$ で最大値をとる場合

$12+c = 3$ より、$c = -9$

このとき、$y=(x+2)^2 -13$ となり、$x=-3$ のとき、$y=-12$

$x=-2$ のとき、$y=-13$

最小値は $-13$ であり、最大値は $x=2$ のとき、$3$ となります。

この場合、条件を満たします。

(ii) $x=-3$ で最大値をとる場合

$-3+c = 3$ より、$c = 6$

このとき、$y=(x+2)^2 +2$ となり、$x=2$ のとき、$y=18$

$x=-2$ のとき、$y=2$

最小値は $2$ であり、最大値は $x=2$ のとき、$18$ となります。

この場合、最大値が $3$ にならないので、条件を満たしません。

したがって、$c = -9$ となります。

その時の最小値は、頂点のy座標である $c-4 = -9-4 = -13$ です。

3. 最終的な答え

$c = -9$

最小値: $-13$