$t$ の値が変化するとき、2直線 $y = t(x+2)$ と $ty = 2-x$ の交点Pの軌跡を求める問題です。

1. 問題の内容

$t$ の値が変化するとき、2直線 $y = t(x+2)$ と $ty = 2-x$ の交点Pの軌跡を求める問題です。

2. 解き方の手順

交点Pの座標を $(x, y)$ とします。

まず、与えられた2つの式を連立させて $t$ を消去することを考えます。

一つ目の式は $y = t(x+2)$ であり、二つ目の式は $ty = 2 - x$ です。

一つ目の式から $t = \frac{y}{x+2}$ が得られます（ただし、$x \neq -2$）。

これを二つ目の式に代入すると、

$(\frac{y}{x+2})y = 2 - x$

となります。

これを整理すると、

$y^2 = (2-x)(x+2)$

$y^2 = 4 - x^2$

$x^2 + y^2 = 4$

となります。

これは円の方程式であり、中心が原点 $(0,0)$、半径が2の円を表します。

ただし、$x \neq -2$ であったことに注意する必要があります。

$x = -2$ のとき、一つ目の式から $y = t(-2+2) = 0$ となり、$x = -2, y = 0$ が得られます。

このとき、二つ目の式は $t(0) = 2 - (-2)$ すなわち $0 = 4$ となり、これは矛盾します。

したがって、$x = -2$ となる点は軌跡から除外する必要があります。

$x^2 + y^2 = 4$ 上で $x = -2$ となる点は $(-2, 0)$ のみなので、この点を除外します。

3. 最終的な答え

求める軌跡は、円 $x^2 + y^2 = 4$ から点 $(-2, 0)$ を除いたものです。