3次方程式 $x^3 + 3x^2 - 4 = 0$ は実数解を何個持つか。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + 3x^2 - 4 = 0$ は実数解を何個持つか。

2. 解き方の手順

3次関数 $f(x) = x^3 + 3x^2 - 4$ のグラフを描き、x軸との交点の数を調べれば、実数解の個数がわかります。

まず、$f(x)$ を微分します。

$f'(x) = 3x^2 + 6x = 3x(x + 2)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めると、$x = 0$ と $x = -2$ が得られます。

これは $f(x)$ の極値を与える $x$ の値です。

$x = -2$ のとき、$f(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 - 4 = -8 + 12 - 4 = 0$

$x = 0$ のとき、$f(0) = (0)^3 + 3(0)^2 - 4 = -4$

したがって、$f(x)$ は $x = -2$ で極大値をとり、$x = 0$ で極小値をとります。

極大値は $f(-2) = 0$、極小値は $f(0) = -4$ です。

$f(-2) = 0$ より、 $x=-2$ は $f(x) = 0$ の解の一つです。

$f(x)= x^3 + 3x^2 - 4 = (x+2)(x^2 + x - 2) = (x+2)(x+2)(x-1) = (x+2)^2(x-1)$

したがって、$f(x) = 0$ の解は、$x = -2$ (重解)と $x = 1$ です。

グラフの概形を考えると、$x = -2$ でx軸に接し、$x = 1$ でx軸と交わります。

したがって、実数解は $-2$ (重解) と $1$ であり、合計2個です。ただし、重解を考慮しなければ、異なる実数解は2個です。

3. 最終的な答え

3次方程式 $x^3 + 3x^2 - 4 = 0$ は実数解を2個持つ。