数列 $\{a_n\}$ が $1, 2, 4, 7, 11, \dots$ で与えられたとき、この数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $1, 2, 4, 7, 11, \dots$ で与えられたとき、この数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

この数列の階差数列を考えます。階差数列 $\{b_n\}$ は、

$b_n = a_{n+1} - a_n$ で与えられます。

数列 $\{a_n\}$ の各項の差を計算すると、

$2-1 = 1$, $4-2 = 2$, $7-4 = 3$, $11-7 = 4$

となるので、階差数列 $\{b_n\}$ は $1, 2, 3, 4, \dots$ となり、これは初項が1、公差が1の等差数列です。

したがって、$b_n = n$ となります。

数列 $\{a_n\}$ の一般項は、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$ で与えられます。

ここで、$a_1 = 1$ であり、$b_k = k$ なので、

$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} k = 1 + \frac{(n-1)n}{2} = 1 + \frac{n^2-n}{2} = \frac{n^2 - n + 2}{2}$

となります。

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{n^2 - n + 2}{2}$