3点 A($x$, 0, -1), B(2, $y$, 1), C(-1, -2, 3) が一直線上にあるとき、$x$ と $y$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

3点 A($x$, 0, -1), B(2, $y$, 1), C(-1, -2, 3) が一直線上にあるとき、$x$ と $y$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

3点が一直線上にあるということは、ベクトル AB とベクトル AC が平行であるということである。

ベクトル AB は、

$\vec{AB} = (2-x, y-0, 1-(-1)) = (2-x, y, 2)$

ベクトル AC は、

$\vec{AC} = (-1-x, -2-0, 3-(-1)) = (-1-x, -2, 4)$

$\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ が平行なので、$\vec{AB} = k\vec{AC}$ となる実数 k が存在する。つまり、

$(2-x, y, 2) = k(-1-x, -2, 4)$

この式から、以下の3つの式が得られる。

$2-x = k(-1-x)$

$y = -2k$

$2 = 4k$

3番目の式から、$k$ の値を求める。

$2 = 4k$

$k = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$k = \frac{1}{2}$ を2番目の式に代入する。

$y = -2k = -2 \times \frac{1}{2} = -1$

$k = \frac{1}{2}$ を1番目の式に代入する。

$2-x = \frac{1}{2}(-1-x)$

$2(2-x) = -1-x$

$4-2x = -1-x$

$5 = x$

したがって、$x = 5$、$y = -1$

3. 最終的な答え

$x = 5$, $y = -1$