問題8は、与えられた3点の座標を頂点とする三角形の形状を答える問題です。問題9は、与えられた3点A, B, Cから等距離にあるxy平面上の点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

問題8は、与えられた3点の座標を頂点とする三角形の形状を答える問題です。問題9は、与えられた3点A, B, Cから等距離にあるxy平面上の点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

**問題8 (1)の解き方**

三角形の形状を調べるには、各辺の長さを計算し、それらの関係を調べます。

A(1,-1,3), B(3,-2,5), C(2,1,3)

ABの長さ:

$AB = \sqrt{(3-1)^2 + (-2-(-1))^2 + (5-3)^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4+1+4} = \sqrt{9} = 3$

BCの長さ:

$BC = \sqrt{(2-3)^2 + (1-(-2))^2 + (3-5)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+9+4} = \sqrt{14}$

CAの長さ:

$CA = \sqrt{(1-2)^2 + (-1-1)^2 + (3-3)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$

$AB^2 = 9$

$BC^2 = 14$

$CA^2 = 5$

$AB^2 + CA^2 = 9+5 = 14 = BC^2$

ピタゴラスの定理を満たすので、直角三角形です。

辺ABとCAが直角をなす直角三角形です。

**問題8 (2)の解き方**

A(2,1,4), B(3,-1,-2), C(-1,3,-5)

ABの長さ:

$AB = \sqrt{(3-2)^2 + (-1-1)^2 + (-2-4)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-6)^2} = \sqrt{1+4+36} = \sqrt{41}$

BCの長さ:

$BC = \sqrt{(-1-3)^2 + (3-(-1))^2 + (-5-(-2))^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16+16+9} = \sqrt{41}$

CAの長さ:

$CA = \sqrt{(2-(-1))^2 + (1-3)^2 + (4-(-5))^2} = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 9^2} = \sqrt{9+4+81} = \sqrt{94}$

$AB=BC$であるため、二等辺三角形です。

**問題9の解き方**

求める点をP(x,y,0)とします。(xy平面上にあるのでz座標は0)

AP = BP = CPとなるx, yを求めます。

$AP^2 = (x-4)^2 + (y-3)^2 + (0-(-3))^2 = (x-4)^2 + (y-3)^2 + 9$

$BP^2 = (x-(-2))^2 + (y-(-2))^2 + (0-3)^2 = (x+2)^2 + (y+2)^2 + 9$

$CP^2 = (x-(-2))^2 + (y-(-4))^2 + (0-(-1))^2 = (x+2)^2 + (y+4)^2 + 1$

$AP^2 = BP^2$より

$(x-4)^2 + (y-3)^2 + 9 = (x+2)^2 + (y+2)^2 + 9$

$x^2 - 8x + 16 + y^2 - 6y + 9 = x^2 + 4x + 4 + y^2 + 4y + 4$

$-8x - 6y + 25 = 4x + 4y + 8$

$12x + 10y = 17$

$BP^2 = CP^2$より

$(x+2)^2 + (y+2)^2 + 9 = (x+2)^2 + (y+4)^2 + 1$

$(y+2)^2 + 9 = (y+4)^2 + 1$

$y^2 + 4y + 4 + 9 = y^2 + 8y + 16 + 1$

$4y + 13 = 8y + 17$

$-4y = 4$

$y = -1$

$12x + 10(-1) = 17$

$12x - 10 = 17$

$12x = 27$

$x = \frac{27}{12} = \frac{9}{4}$

3. 最終的な答え

問題8 (1): ABとCAが直角をなす直角三角形

問題8 (2): 二等辺三角形

問題9: $(\frac{9}{4}, -1, 0)$