4点 $A(2, 2, 0)$, $B(2, 0, -2)$, $C(0, 2, -2)$, $D(x, y, z)$が正四面体の頂点となるように、点Dの座標 $(x, y, z)$ を定める問題です。

はい、承知いたしました。問題21を解きます。

1. 問題の内容

4点 $A(2, 2, 0)$, $B(2, 0, -2)$, $C(0, 2, -2)$, $D(x, y, z)$が正四面体の頂点となるように、点Dの座標 $(x, y, z)$ を定める問題です。

2. 解き方の手順

正四面体である条件から、各辺の長さが等しいことを利用します。

まず、$AB$, $BC$, $CA$の長さを求めます。

次に、$AD = AB$, $BD = AB$, $CD = AB$となるように、$x, y, z$を決定します。

$AB = \sqrt{(2-2)^2 + (2-0)^2 + (0-(-2))^2} = \sqrt{0 + 4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$BC = \sqrt{(2-0)^2 + (0-2)^2 + (-2-(-2))^2} = \sqrt{4 + 4 + 0} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$CA = \sqrt{(0-2)^2 + (2-2)^2 + (-2-0)^2} = \sqrt{4 + 0 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

したがって、$AB = BC = CA = 2\sqrt{2}$であることがわかります。

次に、$AD = BD = CD = 2\sqrt{2}$となるように、$D(x, y, z)$を決定します。

$AD^2 = (x-2)^2 + (y-2)^2 + (z-0)^2 = 8$

$BD^2 = (x-2)^2 + (y-0)^2 + (z+2)^2 = 8$

$CD^2 = (x-0)^2 + (y-2)^2 + (z+2)^2 = 8$

まず、$AD^2 = BD^2$より、

$(x-2)^2 + (y-2)^2 + z^2 = (x-2)^2 + y^2 + (z+2)^2$

$(y-2)^2 + z^2 = y^2 + (z+2)^2$

$y^2 - 4y + 4 + z^2 = y^2 + z^2 + 4z + 4$

$-4y = 4z$

$y = -z$

次に、$BD^2 = CD^2$より、

$(x-2)^2 + y^2 + (z+2)^2 = x^2 + (y-2)^2 + (z+2)^2$

$(x-2)^2 + y^2 = x^2 + (y-2)^2$

$x^2 - 4x + 4 + y^2 = x^2 + y^2 - 4y + 4$

$-4x = -4y$

$x = y$

したがって、$x = y = -z$

$AD^2 = (x-2)^2 + (x-2)^2 + (-x)^2 = 8$

$x^2 - 4x + 4 + x^2 - 4x + 4 + x^2 = 8$

$3x^2 - 8x = 0$

$x(3x - 8) = 0$

$x = 0$のとき、$A = C$となるため不適。

$x = \frac{8}{3}$

$x = y = \frac{8}{3}$, $z = -\frac{8}{3}$

よって、$D(\frac{8}{3}, \frac{8}{3}, -\frac{8}{3})$

3. 最終的な答え

$D(\frac{8}{3}, \frac{8}{3}, -\frac{8}{3})$