正八角形において、3個の頂点を結んで作られる三角形について、以下の条件を満たす三角形の個数を求める。 (1) 正八角形と2辺を共有する三角形の個数 (2) 正八角形と辺を共有しない三角形の個数

1. 問題の内容

正八角形において、3個の頂点を結んで作られる三角形について、以下の条件を満たす三角形の個数を求める。

(1) 正八角形と2辺を共有する三角形の個数

(2) 正八角形と辺を共有しない三角形の個数

2. 解き方の手順

(1) 正八角形と2辺を共有する三角形について:

正八角形の隣り合う2辺を選び、それらを共有する三角形を作ることを考える。正八角形の辺の数は8なので、2辺を共有する三角形も8個存在する。

(2) 正八角形と辺を共有しない三角形について:

まず、正八角形の3個の頂点を選んで作られる三角形の総数を求める。これは、8個の頂点から3個の頂点を選ぶ組み合わせの数なので、${}_8 C_3$で計算できる。

${}_8 C_3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

次に、正八角形と1辺だけを共有する三角形の数を求める。1つの辺を選び、残りの1つの頂点をその辺に隣接する頂点以外から選ぶ必要がある。正八角形の辺の数は8。1つの辺を選び、その辺の両端の頂点を除く5個の頂点から1つを選ぶので、そのような三角形は$8 \times 5 = 40$個存在する。

したがって、辺を共有しない三角形の数は、$56 - 8 - 40 = 8$個である。

なお、正八角形の3頂点を結んでできる三角形の総数は56個であり、そこから正八角形と2辺を共有する三角形（8個）と1辺を共有する三角形（40個）を除くと、辺を共有しない三角形の個数が求まる。

3. 最終的な答え

(1) 正八角形と2辺を共有する三角形の個数: 8個

(2) 正八角形と辺を共有しない三角形の個数: 8個