画像に示された平行六面体について、以下のベクトルの内積を求める問題です。 (1) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ (2) $\overrightarrow{BF} \cdot \overrightarrow{BC}$ (3) $\overrightarrow{EF} \cdot \overrightarrow{GE}$ (4) $\overrightarrow{CG} \cdot \overrightarrow{EF}$ (5) $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DC}$ (6) $\overrightarrow{EC} \cdot \overrightarrow{EG}$ ただし、ADの長さは2です。

1. 問題の内容

画像に示された平行六面体について、以下のベクトルの内積を求める問題です。

(1) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$

(2) $\overrightarrow{BF} \cdot \overrightarrow{BC}$

(3) $\overrightarrow{EF} \cdot \overrightarrow{GE}$

(4) $\overrightarrow{CG} \cdot \overrightarrow{EF}$

(5) $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DC}$

(6) $\overrightarrow{EC} \cdot \overrightarrow{EG}$

ただし、ADの長さは2です。

2. 解き方の手順

平行六面体の性質を利用して、各ベクトルの内積を計算します。ベクトルの内積は、$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \cos{\theta}$ で計算できます。また、平行なベクトル同士の内積、垂直なベクトル同士の内積などを考慮します。

(1) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ は隣り合う辺なので、$\angle BAC$を$\theta$とすると、$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |AB||AC|\cos{\theta}$。具体的な角度が不明なので、このままにしておきます。

(2) $\overrightarrow{BF} \cdot \overrightarrow{BC}$

$\overrightarrow{BF}$と$\overrightarrow{BC}$は垂直なので、$\overrightarrow{BF} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$

(3) $\overrightarrow{EF} \cdot \overrightarrow{GE}$

$\overrightarrow{EF}$ と $\overrightarrow{GE}$ は隣り合う辺なので、$\overrightarrow{EF} \cdot \overrightarrow{GE} = |EF||GE|\cos{\theta}$。具体的な角度が不明なので、このままにしておきます。$\overrightarrow{GE} = -\overrightarrow{EG}$

(4) $\overrightarrow{CG} \cdot \overrightarrow{EF}$

$\overrightarrow{CG}$と$\overrightarrow{EF}$は垂直なので、$\overrightarrow{CG} \cdot \overrightarrow{EF} = 0$

(5) $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DC}$

$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DC}$は、$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DC} = |AC||DC|\cos{\theta}$。具体的な角度が不明なので、このままにしておきます。

(6) $\overrightarrow{EC} \cdot \overrightarrow{EG}$

$\overrightarrow{EC}$ と $\overrightarrow{EG}$ は隣り合う辺なので、$\overrightarrow{EC} \cdot \overrightarrow{EG} = |EC||EG|\cos{\theta}$。具体的な角度が不明なので、このままにしておきます。

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |AB||AC|\cos{\theta}$

(2) $\overrightarrow{BF} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$

(3) $\overrightarrow{EF} \cdot \overrightarrow{GE} = -|EF||EG|\cos{\theta}$

(4) $\overrightarrow{CG} \cdot \overrightarrow{EF} = 0$

(5) $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DC} = |AC||DC|\cos{\theta}$

(6) $\overrightarrow{EC} \cdot \overrightarrow{EG} = |EC||EG|\cos{\theta}$