右の図のような道のある町で、以下の条件を満たす最短の道順の数を求めます。 (1) PからQまで行く。 (2) PからRを通ってQまで行く。 (3) Pから×印の箇所は通らずにQまで行く。 (4) PからRを通り、×印の箇所は通らずにQまで行く。

1. 問題の内容

右の図のような道のある町で、以下の条件を満たす最短の道順の数を求めます。

(1) PからQまで行く。

(2) PからRを通ってQまで行く。

(3) Pから×印の箇所は通らずにQまで行く。

(4) PからRを通り、×印の箇所は通らずにQまで行く。

2. 解き方の手順

(1) PからQまで行く場合

PからQまでの最短経路は、右に5回、下に4回移動する組み合わせです。

したがって、その道順の数は

$\frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$通りです。

(2) PからRを通ってQまで行く場合

PからRまでの最短経路は、右に1回、下に2回移動する組み合わせです。

その道順の数は

$\frac{3!}{1!2!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{1 \times 2 \times 1} = 3$通りです。

RからQまでの最短経路は、右に4回、下に2回移動する組み合わせです。

その道順の数は

$\frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$通りです。

したがって、PからRを通ってQまで行く道順の数は

$3 \times 15 = 45$通りです。

(3) Pから×印の箇所は通らずにQまで行く場合

PからQまでのすべての経路から、Pから×印を通ってQまで行く経路を引きます。

Pから×印までの最短経路は、右に2回、下に2回移動する組み合わせです。

その道順の数は

$\frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通りです。

×印からQまでの最短経路は、右に3回、下に2回移動する組み合わせです。

その道順の数は

$\frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通りです。

したがって、Pから×印を通ってQまで行く道順の数は

$6 \times 10 = 60$通りです。

したがって、Pから×印の箇所は通らずにQまで行く道順の数は

$126 - 60 = 66$通りです。

(4) PからRを通り、×印の箇所は通らずにQまで行く場合

PからRを通りQまで行く経路から、PからRを通り、かつ×を通ってQまで行く経路を引きます。

PからRを通って×まで行く経路数は、

PからRまで3通り、Rから×まで右に1回、下に0回の移動なので1通り。

よって、PからRを通って×まで行く経路数は$3 \times 1 = 3$通り。

×からQまでは10通りなので、PからRを通り、かつ×を通ってQまで行く経路数は

$3 \times 10 = 30$通り。

PからRを通りQまで行く経路数は45通りだったので、求める経路数は

$45 - 30 = 15$通り。

3. 最終的な答え

(1) 126通り

(2) 45通り

(3) 66通り

(4) 15通り