直角三角形ABCにおいて、$AB=3$, $BC=4$, $CA=5$である。三角形ABCの内接円の中心をIとし、内接円とABの接点をHとする。また、直線AIと内接円との交点をP,Q、辺BCとの交点をDとする。ただし、$AP<AQ$とする。 (1) 線分BHの長さを求めよ。 (2) 線分ADの長さを求めよ。 (3) 線分APの長さを求めよ。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、$AB=3$, $BC=4$, $CA=5$である。三角形ABCの内接円の中心をIとし、内接円とABの接点をHとする。また、直線AIと内接円との交点をP,Q、辺BCとの交点をDとする。ただし、$AP<AQ$とする。

(1) 線分BHの長さを求めよ。

(2) 線分ADの長さを求めよ。

(3) 線分APの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 線分BHの長さ

内接円と三角形の各辺との接点について、$AH=AP$, $BH=BQ$, $CQ=CR$ が成り立つ。また、$AB+BC+CA=3+4+5=12$である。内接円の半径をrとすると、三角形ABCの面積は$\frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$。また、$6 = \frac{1}{2}r(AB+BC+CA) = \frac{1}{2}r(12) = 6r$より、$r=1$となる。

したがって、$AH=AB-BH=3-BH$、$BC=BH+CD=4$、$AC=5$

ここで、$AH=x, BH=y, CD=z$とすると、$x+y=3, y+z=4, z+x=5$となる。

これを解くと、$x=2, y=1, z=3$となる。

よって、$BH=1$となる。

(2) 線分ADの長さ

角の二等分線の性質より、$BD:CD=AB:AC=3:5$となる。

また、$BC=4$なので、$BD=\frac{3}{3+5} \times 4 = \frac{3}{8} \times 4 = \frac{3}{2}$

$CD=\frac{5}{3+5} \times 4 = \frac{5}{8} \times 4 = \frac{5}{2}$

三角形ABDについて、余弦定理より

$AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2 \times AB \times BD \times \cos{B}$

$\cos{B} = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{5}$なので

$AD^2 = 3^2 + (\frac{3}{2})^2 - 2 \times 3 \times \frac{3}{2} \times \frac{3}{5} = 9 + \frac{9}{4} - \frac{27}{5} = \frac{180+45-108}{20} = \frac{117}{20}$

$AD = \sqrt{\frac{117}{20}} = \sqrt{\frac{9 \times 13}{4 \times 5}} = \frac{3}{2} \sqrt{\frac{13}{5}} = \frac{3\sqrt{65}}{10}$

別解：

三角形ABCの面積は6である。

三角形ABIの面積は$\frac{1}{2} \times AB \times r = \frac{1}{2} \times 3 \times 1 = \frac{3}{2}$

三角形ACIの面積は$\frac{1}{2} \times AC \times r = \frac{1}{2} \times 5 \times 1 = \frac{5}{2}$

三角形BCIの面積は$\frac{1}{2} \times BC \times r = \frac{1}{2} \times 4 \times 1 = 2$

AIは$\angle BAC$の二等分線であるから、$AD$は$\angle BAC$の二等分線である。

$BD:CD = AB:AC = 3:5$

$BD = \frac{3}{8}BC = \frac{3}{8} \times 4 = \frac{3}{2}$

$CD = \frac{5}{8}BC = \frac{5}{8} \times 4 = \frac{5}{2}$

三角形ABDにおいて、$AB=3, BD=\frac{3}{2}$。$\angle ABC = \theta$とする。

$\cos\theta = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{5}$

$AD^2 = AB^2+BD^2 - 2 \times AB \times BD \times \cos\theta = 3^2+(\frac{3}{2})^2 - 2 \times 3 \times \frac{3}{2} \times \frac{3}{5} = 9 + \frac{9}{4} - \frac{27}{5} = \frac{180+45-108}{20} = \frac{117}{20}$

$AD = \sqrt{\frac{117}{20}} = \frac{3\sqrt{13}}{2\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{65}}{10}$

(3) 線分APの長さ

$AI$は$\angle BAC$の二等分線であるから、$\angle BAI = \frac{1}{2} \angle BAC$となる。

三角形ABCは直角三角形なので、$\angle BAC = 90^{\circ}$。したがって、$\angle BAI = 45^{\circ}$となる。

$\tan{45^{\circ}} = \frac{IH}{AH} = 1$なので、$AH = IH = r = 1$

$AI = \sqrt{AH^2 + IH^2} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$

$AP \times AQ = (AI-r)(AI+r) = AI^2-r^2$

ここで、$AP+AQ=AI$とはならない。

方べきの定理を利用する。$AP \cdot AQ = AH^2 = 1$

また、$AP<AQ$より、$AP = AI - r = \sqrt{2}-1, AQ = AI + r = \sqrt{2}+1$

$AP = \sqrt{2} - 1$

3. 最終的な答え

(1) 線分BHの長さ: 1

(2) 線分ADの長さ: $\frac{3\sqrt{65}}{10}$

(3) 線分APの長さ: $\sqrt{2}-1$