$a = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$ および $\frac{1}{a} = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{4}$ が与えられたとき、$a + \frac{2}{a}$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$a = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$ および $\frac{1}{a} = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{4}$ が与えられたとき、$a + \frac{2}{a}$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$a + \frac{2}{a}$ を計算するために、$\frac{2}{a}$ の値を求めます。

$\frac{1}{a} = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{4}$ より、

$\frac{2}{a} = 2 \times \frac{1}{a} = 2 \times \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{4} = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2}$

次に、$a + \frac{2}{a}$ を計算します。

$a + \frac{2}{a} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2} + \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2}$

共通の分母があるので、分子を足し合わせます。

$a + \frac{2}{a} = \frac{(3\sqrt{2} + \sqrt{10}) + (3\sqrt{2} - \sqrt{10})}{2} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10} + 3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2}$

最後に、分数を簡約します。

$a + \frac{2}{a} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$3\sqrt{2}$