$x=3$ で最小値 $-5$ をとり、点 $(-1, 3)$ を通る2次関数を求める問題です。

1. 問題の内容

$x=3$ で最小値 $-5$ をとり、点 $(-1, 3)$ を通る2次関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次関数は、頂点が $(3, -5)$ であることから、

$y = a(x-3)^2 - 5$ と表すことができます。ここで、$a$ は2次の係数です。

このグラフが点 $(-1, 3)$ を通ることから、$x = -1$, $y = 3$ を代入して、$a$ の値を求めます。

$3 = a(-1 - 3)^2 - 5$

$3 = a(-4)^2 - 5$

$3 = 16a - 5$

$16a = 8$

$a = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$

したがって、2次関数は $y = \frac{1}{2}(x-3)^2 - 5$ となります。

これを展開して整理すると、

$y = \frac{1}{2}(x^2 - 6x + 9) - 5$

$y = \frac{1}{2}x^2 - 3x + \frac{9}{2} - 5$

$y = \frac{1}{2}x^2 - 3x - \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$y = \frac{1}{2}x^2 - 3x - \frac{1}{2}$