すべての正の実数 $x$ に対して $\sqrt{x+2} \leq k\sqrt{x+1}$ が成り立つような実数 $k$ の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

すべての正の実数 $x$ に対して $\sqrt{x+2} \leq k\sqrt{x+1}$ が成り立つような実数 $k$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式 $\sqrt{x+2} \leq k\sqrt{x+1}$ の両辺を2乗します。

$x+2 \leq k^2(x+1)$

次に、この不等式を $x$ について整理します。

$x+2 \leq k^2 x + k^2$

$x - k^2 x \leq k^2 - 2$

$(1 - k^2) x \leq k^2 - 2$

ここで、$x > 0$ なので、

$k^2 - 1 > 0$ のとき、$x \leq \frac{k^2-2}{1-k^2}$。

$k^2 - 1 < 0$ のとき、$x \geq \frac{k^2-2}{1-k^2}$。

$k^2 - 1 = 0$ のとき、$k = 1$ または $k = -1$。

与えられた不等式がすべての正の実数 $x$ に対して成り立つためには、$x \geq \frac{k^2-2}{1-k^2}$ である必要があります。

したがって、$1-k^2 < 0$ であり、$k^2 > 1$ となります。

また、$\frac{k^2-2}{1-k^2} \leq 0$ でなければなりません。

$\frac{k^2-2}{1-k^2} = \frac{k^2-2}{-(k^2-1)} = -\frac{k^2-2}{k^2-1} \leq 0$

$\frac{k^2-2}{k^2-1} \geq 0$

$k^2 - 1 > 0$ なので、$k^2 - 2 \geq 0$ である必要があります。

$k^2 \geq 2$

$k \geq \sqrt{2}$ または $k \leq -\sqrt{2}$

$k$ は正の実数なので、$k \geq \sqrt{2}$ です。

したがって、$k$ の最小値は $\sqrt{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$\sqrt{2}$