与えられた行列の逆行列を掃き出し法で求めます。 与えられた行列を $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & -1 \end{pmatrix}$ とします。

了解しました。画像の問題について、それぞれ解答を提示します。

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6. (1) 逆行列の計算**

1. 問題の内容

与えられた行列の逆行列を掃き出し法で求めます。

与えられた行列を $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & -1 \end{pmatrix}$ とします。

2. 解き方の手順

掃き出し法は、与えられた行列に単位行列を並べた拡大行列を作り、基本変形を繰り返して左側の行列を単位行列に変形する方法です。

$A$ に単位行列 $I$ を並べた拡大行列 $(A|I)$ を作ります。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & | & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & -1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

第3行から第1行の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & | & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

第3行に第2行を加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

第2行から第3行の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 4 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & | & -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

第1行から第2行の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -7 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & | & 4 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & | & -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

左側が単位行列になったので、右側が逆行列です。

3. 最終的な答え

$A^{-1} = \begin{pmatrix} -7 & 2 & 4 \\ 4 & -1 & -2 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

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7. (1) 行列方程式の解**

1. 問題の内容

行列方程式 $AX = B$ の解 $X$ を求めます。ただし、$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & 3 & 2 \end{pmatrix}$、$B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ です。

2. 解き方の手順

$X = A^{-1}B$ なので、$A$ の逆行列 $A^{-1}$ を求め、 $B$ との積を計算します。

まず、$A$ の逆行列を掃き出し法で求めます。

拡大行列 $(A|I)$ を作ります。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & | & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 3 & 2 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

第2行から第1行の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -1 & | & -2 & 1 & 0 \\ 3 & 3 & 2 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

第3行から第1行の3倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -1 & | & -2 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & -1 & | & -3 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

第2行を-1/2倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1/2 & | & 1 & -1/2 & 0 \\ 0 & -3 & -1 & | & -3 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

第3行に第2行の3倍を加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1/2 & | & 1 & -1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1/2 & | & 0 & -3/2 & 1 \end{pmatrix}$

第3行を2倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1/2 & | & 1 & -1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & -3 & 2 \end{pmatrix}$

第2行から第3行の1/2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & -3 & 2 \end{pmatrix}$

第1行から第3行を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & | & 1 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & -3 & 2 \end{pmatrix}$

第1行から第2行の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & -3 & 2 \end{pmatrix}$

したがって、$A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \\ 0 & -3 & 2 \end{pmatrix}$

$X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \\ 0 & -3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 1 & -1 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$X = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 1 & -1 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}$