3変数 $x_1, x_2, x_3$ に関する連立一次方程式 $ \begin{cases} -3x_1 - 3x_2 - 9x_3 = -9 \\ -x_1 - x_2 + 3x_3 = 3 \\ 2x_1 + 2x_2 + 6x_3 = 6 \end{cases} $ の解として正しいものを選択肢から選ぶ問題です。

1. 問題の内容

3変数 $x_1, x_2, x_3$ に関する連立一次方程式

$ \begin{cases}

-3x_1 - 3x_2 - 9x_3 = -9 \\

-x_1 - x_2 + 3x_3 = 3 \\

2x_1 + 2x_2 + 6x_3 = 6

\end{cases} $

の解として正しいものを選択肢から選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

まず、連立方程式を簡略化します。

1番目の式を-3で割ると、

$x_1 + x_2 + 3x_3 = 3$

2番目の式は

$-x_1 - x_2 + 3x_3 = 3$

3番目の式を2で割ると、

$x_1 + x_2 + 3x_3 = 3$

となり、1番目の式と同じになります。

したがって、独立な方程式は2つだけです。

$ \begin{cases}

x_1 + x_2 + 3x_3 = 3 \\

-x_1 - x_2 + 3x_3 = 3

\end{cases} $

これらの式を足し合わせると、

$6x_3 = 6$

$x_3 = 1$

これを最初の式に代入すると、

$x_1 + x_2 + 3(1) = 3$

$x_1 + x_2 = 0$

$x_2 = -x_1$

したがって、解は、

$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ -x_1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + x_1 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$

となります。

選択肢にある

$\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$

は、$\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - p \\ -1 + p + 3q \\ 1 - q \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ -x_1 \\ 1 \end{pmatrix}$

を満たす$p, q$ が存在する必要があります。

$1 - q = 1$より、$q = 0$

$4 - p = x_1$

$-1 + p = -x_1$

$p = x_1 + 1$

$4 - (x_1 + 1) = x_1$

$3 - x_1 = x_1$

$2x_1 = 3$

$x_1 = \frac{3}{2}$

この時、$p = \frac{5}{2}$

したがって、解は

$\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + \frac{5}{2} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 0 \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3/2 \\ 3/2 \\ 1 \end{pmatrix}$

となります。

もう一つの選択肢にある

$\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - p \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ -x_1 \\ 1 \end{pmatrix}$

これを満たす$x_1$は存在しません。

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$