与えられた連立一次方程式 $ \begin{cases} 4x - 5y - 2z = -8 \\ -4x + 4y + z = -1 \\ 2x + y + z = 17 \end{cases} $ について、$ \frac{\Delta_3}{\Delta} $ の値を求める問題です。ここで、$\Delta$ は係数行列の行列式であり、$\Delta_3$ は $z$ に関するクラメルの公式における行列式です。

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式

$\begin{cases} 4x - 5y - 2z = -8 \\ -4x + 4y + z = -1 \\ 2x + y + z = 17 \end{cases}$

について、$\frac{\Delta_3}{\Delta}$ の値を求める問題です。ここで、$\Delta$ は係数行列の行列式であり、$\Delta_3$ は $z$ に関するクラメルの公式における行列式です。

2. 解き方の手順

まず、係数行列の行列式 $\Delta$ を計算します。

$\Delta = \begin{vmatrix} 4 & -5 & -2 \\ -4 & 4 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 4(4 - 1) - (-5)(-4 - 2) + (-2)(-4 - 8) = 4(3) + 5(-6) - 2(-12) = 12 - 30 + 24 = 6$

次に、$\Delta_3$ を計算します。$\Delta_3$ は、$\Delta$ の $z$ の係数の列を右辺の定数項で置き換えた行列の行列式です。

$\Delta_3 = \begin{vmatrix} 4 & -5 & -8 \\ -4 & 4 & -1 \\ 2 & 1 & 17 \end{vmatrix} = 4(4 \cdot 17 - (-1)) - (-5)(-4 \cdot 17 - (-2)) + (-8)(-4 - 8) = 4(68 + 1) + 5(-68 + 2) - 8(-12) = 4(69) + 5(-66) + 96 = 276 - 330 + 96 = 42$

最後に、$\frac{\Delta_3}{\Delta}$ を計算します。

$\frac{\Delta_3}{\Delta} = \frac{42}{6} = 7$

3. 最終的な答え

7