与えられた例を参考に、次の4x4行列の行列式を計算せよ。 $ \begin{vmatrix} 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & -3 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた例を参考に、次の4x4行列の行列式を計算せよ。

$$

\begin{vmatrix}

0 & 2 & 2 & 0 \\

0 & -3 & 0 & -3 \\

0 & 0 & 0 & -1 \\

1 & 0 & 0 & 0

\end{vmatrix}

$$

2. 解き方の手順

与えられた行列の行列式を計算する。

まず、4行1列目の成分が1なので、第1列に関して余因子展開を行う。

$$

\begin{vmatrix}

0 & 2 & 2 & 0 \\

0 & -3 & 0 & -3 \\

0 & 0 & 0 & -1 \\

1 & 0 & 0 & 0

\end{vmatrix}

= 1 \cdot (-1)^{(4+1)} \begin{vmatrix}

2 & 2 & 0 \\

-3 & 0 & -3 \\

0 & 0 & -1

\end{vmatrix}

= - \begin{vmatrix}

2 & 2 & 0 \\

-3 & 0 & -3 \\

0 & 0 & -1

\end{vmatrix}

$$

次に、3行目の成分を見ると、3行1列目と3行2列目の成分は0なので、第3行に関して余因子展開を行う。

$$

- \begin{vmatrix}

2 & 2 & 0 \\

-3 & 0 & -3 \\

0 & 0 & -1

\end{vmatrix}

= - \left[ (-1) \cdot (-1)^{(3+3)} \begin{vmatrix}

2 & 2 \\

-3 & 0

\end{vmatrix} \right]

= \begin{vmatrix}

2 & 2 \\

-3 & 0

\end{vmatrix}

$$

$2 \times 2$の行列の行列式は、

$$

\begin{vmatrix}

a & b \\

c & d

\end{vmatrix}

= ad - bc

$$

したがって、

$$

\begin{vmatrix}

2 & 2 \\

-3 & 0

\end{vmatrix}

= 2(0) - 2(-3) = 0 + 6 = 6

$$

3. 最終的な答え

6