軸が $x = 2$ であり、2点 $(0, -1)$ と $(5, -6)$ を通る放物線の式を $y = -x^2 + ax - b$ の形で求めよ。

1. 問題の内容

軸が $x = 2$ であり、2点 $(0, -1)$ と $(5, -6)$ を通る放物線の式を $y = -x^2 + ax - b$ の形で求めよ。

2. 解き方の手順

放物線の式を $y = -x^2 + ax - b$ とおく。軸が $x=2$ である条件から、$a$ の値を求める。放物線の軸は、$x = -\frac{a}{2(-1)} = \frac{a}{2}$ で表される。したがって、$\frac{a}{2} = 2$ より、$a = 4$ である。

よって、放物線の式は $y = -x^2 + 4x - b$ となる。この放物線が2点 $(0, -1)$ と $(5, -6)$ を通るので、それぞれの座標を代入して $b$ を求める。

点 $(0, -1)$ を代入すると、

$-1 = -0^2 + 4(0) - b$

$-1 = -b$

$b = 1$

点 $(5, -6)$ を代入すると、

$-6 = -5^2 + 4(5) - b$

$-6 = -25 + 20 - b$

$-6 = -5 - b$

$b = 1$

どちらの点でも $b = 1$ となるので、放物線の式は $y = -x^2 + 4x - 1$ である。

3. 最終的な答え

$y = -x^2 + 4x - 1$