頂点のx座標が2であり、2点(0, 7), (3, 4)を通る放物線の方程式を求めよ。ただし、放物線の方程式は $y = x^2 + ax + b$ の形で表すものとする。

1. 問題の内容

頂点のx座標が2であり、2点(0, 7), (3, 4)を通る放物線の方程式を求めよ。ただし、放物線の方程式は $y = x^2 + ax + b$ の形で表すものとする。

2. 解き方の手順

放物線の頂点のx座標が2であることから、$y = x^2 + ax + b$ を平方完成したときに、$(x - 2)^2$ の形が現れるはずである。平方完成を行うと、

$y = x^2 + ax + b = (x + \frac{a}{2})^2 - (\frac{a}{2})^2 + b$

したがって、$-\frac{a}{2} = 2$ より、$a = -4$。放物線の方程式は $y = x^2 - 4x + b$ と表せる。

次に、放物線が点(0, 7)を通ることから、$x = 0$、 $y = 7$ を代入すると、

$7 = 0^2 - 4(0) + b$

$7 = b$

したがって、放物線の方程式は $y = x^2 - 4x + 7$ となる。

最後に、放物線が点(3, 4)を通ることを確認する。

$x = 3$ を代入すると、

$y = 3^2 - 4(3) + 7 = 9 - 12 + 7 = 4$

点(3, 4)を通ることも確認できた。

3. 最終的な答え

$y = x^2 - 4x + 7$