行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & 3 & 2 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、行列方程式 $AX = B$ を満たす行列 $X$ を求める。

## 問題47 (1) の解答

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & 3 & 2 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、行列方程式 $AX = B$ を満たす行列 $X$ を求める。

2. 解き方の手順

行列方程式 $AX = B$ を解くために、拡大行列 $(A|B)$ を作り、行基本変形を用いて $A$ を単位行列に変形する。このとき、$B$ も変形されるので、最終的に $(I|X)$ の形になる。この $X$ が求める解である。

まず、拡大行列 $(A|B)$ を作る。

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(A|B) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 1 & | & 1 & -1 \\ 3 & 3 & 2 & | & 1 & 1 \end{pmatrix}

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次に、行基本変形を行う。

1. 第2行から第1行の2倍を引く ($R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1$)。

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\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 1 & 1 \\ 0 & -2 & -1 & | & -1 & -3 \\ 3 & 3 & 2 & | & 1 & 1 \end{pmatrix}

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2. 第3行から第1行の3倍を引く ($R_3 \rightarrow R_3 - 3R_1$)。

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\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 1 & 1 \\ 0 & -2 & -1 & | & -1 & -3 \\ 0 & -3 & -1 & | & -2 & -2 \end{pmatrix}

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3. 第2行を-1/2倍する ($R_2 \rightarrow -\frac{1}{2}R_2$)。

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\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 1 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & | & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ 0 & -3 & -1 & | & -2 & -2 \end{pmatrix}

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4. 第1行から第2行の2倍を引く ($R_1 \rightarrow R_1 - 2R_2$)。

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\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 0 & -2 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & | & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ 0 & -3 & -1 & | & -2 & -2 \end{pmatrix}

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5. 第3行に第2行の3倍を足す ($R_3 \rightarrow R_3 + 3R_2$)。

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\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 0 & -2 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & | & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & | & -\frac{1}{2} & \frac{5}{2} \end{pmatrix}

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6. 第3行を2倍する ($R_3 \rightarrow 2R_3$)。

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\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 0 & -2 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & | & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 1 & | & -1 & 5 \end{pmatrix}

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7. 第2行から第3行の1/2倍を引く ($R_2 \rightarrow R_2 - \frac{1}{2}R_3$)。

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\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & | & -1 & 5 \end{pmatrix}

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したがって、$X = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 1 & -1 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}$ となる。

3. 最終的な答え

$X = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 1 & -1 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}$