数列 $\{a_n\}$ が、$a_1=2$ および $a_{n+1}-a_n = n+3$ （$n=1, 2, 3, \dots$）で定義されている。この数列の一般項 $a_n$ と、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が、$a_1=2$ および $a_{n+1}-a_n = n+3$ （$n=1, 2, 3, \dots$）で定義されている。この数列の一般項 $a_n$ と、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、階差数列の考え方を利用して一般項 $a_n$ を求める。

$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (a_{k+1}-a_k)$

$a_1 = 2$ であり、$a_{k+1}-a_k = k+3$ なので、

$a_n = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} (k+3) = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} k + \sum_{k=1}^{n-1} 3$

$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$

$\sum_{k=1}^{n-1} 3 = 3(n-1)$

したがって、

$a_n = 2 + \frac{(n-1)n}{2} + 3(n-1) = 2 + \frac{n^2 - n}{2} + 3n - 3 = \frac{n^2 - n + 6n - 6 + 4}{2} = \frac{n^2 + 5n - 2}{2}$

$n=1$ のとき、$a_1 = \frac{1+5-2}{2} = \frac{4}{2} = 2$ となり、$a_1 = 2$ であるので、この式は $n=1$ のときも成り立つ。

したがって、一般項は $a_n = \frac{n^2 + 5n - 2}{2}$ である。

次に、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{k^2 + 5k - 2}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (k^2 + 5k - 2)$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

したがって、

$S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{5n(n+1)}{2} - 2n \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{n(n+1)(2n+1) + 15n(n+1) - 12n}{6} \right)$

$S_n = \frac{n}{12} \left( (n+1)(2n+1) + 15(n+1) - 12 \right) = \frac{n}{12} \left( 2n^2 + 3n + 1 + 15n + 15 - 12 \right) = \frac{n}{12} \left( 2n^2 + 18n + 4 \right)$

$S_n = \frac{n(n^2 + 9n + 2)}{6}$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{n^2 + 5n - 2}{2}$

$S_n = \frac{n(n^2 + 9n + 2)}{6}$