与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。具体的には以下の3つの小問があります。 (1) $x=3$ で最小値 $-5$ をとり、点 $(-1, 3)$ を通る2次関数を求める。 (2) $y=3x^2$ を平行移動したもので、2点 $(1, 0)$, $(2, 4)$ を通る2次関数を求める。 (3) 点 $(-5, 6)$ を通り、頂点が直線 $y = -2x$ 上にあり、最大値が $8$ である2次関数を求める。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。具体的には以下の3つの小問があります。

(1) $x=3$ で最小値 $-5$ をとり、点 $(-1, 3)$ を通る2次関数を求める。

(2) $y=3x^2$ を平行移動したもので、2点 $(1, 0)$, $(2, 4)$ を通る2次関数を求める。

(3) 点 $(-5, 6)$ を通り、頂点が直線 $y = -2x$ 上にあり、最大値が $8$ である2次関数を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x=3$ で最小値 $-5$ をとるので、求める2次関数は $y = a(x-3)^2 - 5$ と表せる。

このグラフが点 $(-1, 3)$ を通るので、

$3 = a(-1-3)^2 - 5$

$3 = 16a - 5$

$16a = 8$

$a = \frac{1}{2}$

したがって、求める2次関数は $y = \frac{1}{2}(x-3)^2 - 5 = \frac{1}{2}(x^2 - 6x + 9) - 5 = \frac{1}{2}x^2 - 3x + \frac{9}{2} - 5 = \frac{1}{2}x^2 - 3x - \frac{1}{2}$

(2) $y=3x^2$ を平行移動したものであるから、求める2次関数は $y = 3(x-p)^2 + q$ と表せる。

これが2点 $(1, 0), (2, 4)$ を通るので、

$0 = 3(1-p)^2 + q$

$4 = 3(2-p)^2 + q$

2つの式を引き算すると

$4 = 3(2-p)^2 - 3(1-p)^2 = 3((4 - 4p + p^2) - (1 - 2p + p^2)) = 3(3 - 2p) = 9 - 6p$

$6p = 5$

$p = \frac{5}{6}$

$0 = 3(1-\frac{5}{6})^2 + q = 3(\frac{1}{36}) + q = \frac{1}{12} + q$

$q = -\frac{1}{12}$

したがって、求める2次関数は

$y = 3(x-\frac{5}{6})^2 - \frac{1}{12} = 3(x^2 - \frac{5}{3}x + \frac{25}{36}) - \frac{1}{12} = 3x^2 - 5x + \frac{25}{12} - \frac{1}{12} = 3x^2 - 5x + 2$

(3) 最大値が $8$ なので、上に凸なグラフである。頂点の座標を $(p, q)$ とすると、 $q = 8$ である。また、頂点は直線 $y=-2x$ 上にあるので、$8 = -2p$ より、$p = -4$。

よって、2次関数は $y = a(x+4)^2 + 8$ と表せる。

これが点 $(-5, 6)$ を通るので、

$6 = a(-5+4)^2 + 8$

$6 = a + 8$

$a = -2$

したがって、求める2次関数は $y = -2(x+4)^2 + 8 = -2(x^2 + 8x + 16) + 8 = -2x^2 - 16x - 32 + 8 = -2x^2 - 16x - 24$

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{1}{2}x^2 - 3x - \frac{1}{2}$

(2) $y = 3x^2 - 5x + 2$

(3) $y = -2x^2 - 16x - 24$