与えられた式 $(a+b+c)(ab+bc+ca) - abc$ を展開して整理せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b+c)(ab+bc+ca) - abc$ を展開して整理せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(a+b+c)(ab+bc+ca)$ を展開します。

\begin{align*} (a+b+c)(ab+bc+ca) &= a(ab+bc+ca) + b(ab+bc+ca) + c(ab+bc+ca) \\ &= a^2b + abc + ca^2 + ab^2 + b^2c + abc + abc + bc^2 + c^2a \\ &= a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 3abc \end{align*}

次に、展開した式から $abc$ を引きます。

\begin{align*} (a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 3abc) - abc &= a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 2abc \end{align*}

この式を整理します。

3. 最終的な答え

$a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 2abc$