6個の数字1, 2, 3, 4, 5, 6を1個ずつ使って3桁の整数を作る。以下の条件を満たす整数はそれぞれ何個作れるか。 (1) 5の倍数 (2) 奇数 (3) 偶数 (4) 540より大きい整数

1. 問題の内容

6個の数字1, 2, 3, 4, 5, 6を1個ずつ使って3桁の整数を作る。以下の条件を満たす整数はそれぞれ何個作れるか。

(1) 5の倍数

(2) 奇数

(3) 偶数

(4) 540より大きい整数

2. 解き方の手順

(1) 5の倍数

5の倍数になるためには、一の位が5でなければならない。

一の位が5に固定されるので、残りの百の位と十の位は1, 2, 3, 4, 6の5つの数字から2つを選んで並べることになる。

したがって、5の倍数の個数は $5 \times 4 = 20$ 個。

(2) 奇数

奇数になるためには、一の位が1, 3, 5のいずれかである必要がある。

一の位が1の場合、百の位と十の位は残りの5つの数字から2つを選んで並べる。その組み合わせは $5 \times 4 = 20$通り。

一の位が3の場合も同様に、百の位と十の位は残りの5つの数字から2つを選んで並べる。その組み合わせは $5 \times 4 = 20$通り。

一の位が5の場合も同様に、百の位と十の位は残りの5つの数字から2つを選んで並べる。その組み合わせは $5 \times 4 = 20$通り。

したがって、奇数の個数は $20 + 20 + 20 = 60$ 個。

(3) 偶数

3桁の整数全体の個数は $6 \times 5 \times 4 = 120$個。

偶数の個数は、全体の個数から奇数の個数を引けば求められる。

したがって、偶数の個数は $120 - 60 = 60$個。

（あるいは、偶数になるためには一の位が2, 4, 6のいずれかである必要があるので、上記と同様に $5 \times 4 \times 3= 60$個としてもよい）

(4) 540より大きい整数

百の位が5の場合、十の位が4, 6のいずれかであれば良い。

- 十の位が4の場合、一の位は6しかありえない。よって、この場合の数は1。

- 十の位が6の場合、一の位は1, 2, 3, 4のいずれかであれば良い。よって、この場合の数は4。

百の位が6の場合、十の位は何でもよいので5通り。一の位は残りの4通り。よって、この場合の数は $5 \times 4 = 20$。

したがって、540より大きい整数の個数は $1 + 4 + 20 = 25$個。

3. 最終的な答え

(1) 5の倍数：20個

(2) 奇数：60個

(3) 偶数：60個

(4) 540より大きい整数：25個