与えられた式 $(a+b+3)(a-b+3)$ を展開し、整理せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b+3)(a-b+3)$ を展開し、整理せよ。

2. 解き方の手順

$(a+b+3)(a-b+3)$ を展開する。

まず、$(a+3)$を$A$とおくと、$A+b$ と $A-b$の積になるので、和と差の積の公式を使う。

$A=a+3$ とおくと、与式は

$(A+b)(A-b)$ となる。

和と差の積の公式より

$(A+b)(A-b) = A^2 - b^2$

したがって、

$(a+b+3)(a-b+3) = (a+3)^2 - b^2$

$(a+3)^2$ を展開すると

$(a+3)^2 = a^2 + 2\cdot3\cdot a + 3^2 = a^2 + 6a + 9$

ゆえに、

$(a+b+3)(a-b+3) = a^2 + 6a + 9 - b^2$

整理して、

$a^2 - b^2 + 6a + 9$

3. 最終的な答え

$a^2 - b^2 + 6a + 9$