放物線 $y = x^2 + ax + b$ を原点に関して対称移動し、更に $x$ 軸方向に 3, $y$ 軸方向に 6 だけ平行移動すると、放物線 $y = -x^2 + 4x - 7$ が得られる。このとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 + ax + b$ を原点に関して対称移動し、更に $x$ 軸方向に 3, $y$ 軸方向に 6 だけ平行移動すると、放物線 $y = -x^2 + 4x - 7$ が得られる。このとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、放物線 $y = x^2 + ax + b$ を原点に関して対称移動する。

原点対称移動は、$x$ を $-x$ に、$y$ を $-y$ に置き換えることで行われる。

したがって、

$-y = (-x)^2 + a(-x) + b$

$-y = x^2 - ax + b$

$y = -x^2 + ax - b$

次に、この放物線を $x$ 軸方向に 3, $y$ 軸方向に 6 だけ平行移動する。

$x$ 軸方向に 3 だけ平行移動するには、$x$ を $x-3$ に置き換え、$y$ 軸方向に 6 だけ平行移動するには、$y$ を $y-6$ に置き換える。

したがって、

$y - 6 = -(x-3)^2 + a(x-3) - b$

$y = -(x^2 - 6x + 9) + ax - 3a - b + 6$

$y = -x^2 + 6x - 9 + ax - 3a - b + 6$

$y = -x^2 + (6+a)x - 3a - b - 3$

この放物線が $y = -x^2 + 4x - 7$ と一致するので、各項の係数を比較する。

$x$ の係数について、$6 + a = 4$ より $a = -2$。

定数項について、$-3a - b - 3 = -7$ より $-3(-2) - b - 3 = -7$。

$6 - b - 3 = -7$

$3 - b = -7$

$b = 10$

3. 最終的な答え

$a = -2$

$b = 10$